图乘法求解结构位移在教学中的本质分析

　　摘 要：学生学习图乘法求解结构的位移时存在着很多难点，尤其是在具体的计算中缺乏正确的分析与计算过程。本文通过具体实例分析了图乘法求解结构位移时的本质，阐述了图乘法根据叠加法原理求解结构位移的详细过程，解决了学生在求解结构位移时存在的困惑和容易出现的问题，从而使学生在使用图乘法时能有更加清晰的认识和更加准确的计算。

　　关键词 图乘法，求解，结构位移，本质

　　近年來，很多学者提出了图乘法求解结构位移时的不同理念[1-5]。然而，在工科学生中开设的《工程力学A》《材料力学》《结构力学》等课程，学生在用常规的图乘法求解结构位移时存在很大问题，常常会遇到不知道哪个弯矩图求面积哪个弯矩图找竖标值及图乘中如何分割面积进行图乘等难题。这些难题一般教材和参考文献中都有大面积的求解和讲解，然而图乘法在应用中的实质并没有很明确地分析导致学生在具体的计算中常常充满了困惑并造成计算错误。针对学生经常在常规图乘法计算结构位移时出现的问题，本文通过具体实例分析讲解图乘法的实质，在一定程度上纠正学生在计算中导致的错误。

　　1 图乘法的本质分析

　　1.1图乘法的公式及使用条件

　　图乘法的计算公式为，大家很熟悉其使用条件[6-9]：

　　(1)等刚度直杆;

　　(2)弯矩图中至少有一幅弯矩图为直线图;

　　(3)竖标yc应取自弯矩图为直线图中;

　　(4)w和yc若取在杆轴线同侧则乘积为正，反之为负;

　　(5)当图乘法的适用条件不满足时，拱、曲杆结构和连续变截面的结构只能通过积分的方式求解;当抗弯刚度为分段常数时或者两弯矩图非一条直线时，应分段图乘再叠加。

　　1.2实例分析图乘法的实质

　　应用中除了明确上面这些基本知识，常常忽视了图乘法的本质是叠加法，在具体的计算中本着叠加法的想法图乘法就显得思路清晰了很多。下文通过实例分析图乘法的本质：用图乘法求解下列静定刚架截面A的竖向位移和截面B的竖向位移。

　　1.2.1 求解截面A的竖向位移(图1)

　　(1)方法一。

　　A截面的竖直位移为，方向如图中虚拟力的方向。

　　方法一图乘AC段时直接用图4的抛物线弯矩图和图3的三角形弯矩图进行图乘：抛物线计算面积，在三角形弯矩图中找二次抛物线的形心位置对应到三角形弯矩图的竖标值。图乘CE段时用图2的矩形弯矩图和图3的矩形弯矩图进行图乘：图2的矩形弯矩图计算面积，在图3的矩形弯矩图中找图2的矩形弯矩图的形心位置对应的竖标值;也可以图3的矩形弯矩图计算面积，在图2的矩形弯矩图中找图3的矩形弯矩图的形心位置对应的竖标值。

　　(2)方法二。

　　A截面的竖直位移为，方向如图中虚拟力的方向。

　　方法二图乘AC段时用叠加法将图5中的弯曲图分解为一个三角形ACD弯矩图和抛物线(图7)弯矩图分别与图6中三角形弯矩图进行图乘：三角形ACD弯矩图和抛物线(图7)弯矩图分别计算其面积，在图6三角形弯矩图中分别找三角形ACD弯矩图和抛物线(图7)弯矩图的形心位置对应到图6三角形弯矩图中的竖标值。图乘CE段时用图5的矩形弯矩图和图6的矩形弯矩图进行图乘：图5的矩形弯矩图计算面积，在图6的矩形弯矩图中找图5的矩形弯矩图的形心位置对应的竖标值;也可以图6的矩形弯矩图计算面积，在图5的矩形弯矩图中找图6的矩形弯矩图的形心位置对应的竖标值。

　　方法二中图乘AC段时实质上应用了叠加法画AC段弯矩图的原理：先确定A、C两个端截面的弯矩值，再虚线相连A、C两端的弯矩值，最后在虚线上或虚线下叠加相应的抛物线如图7所示，则该抛物线与轴线所画图线即为最后的弯矩图。因此，图乘法实质上应用叠加法的想法先在图5中三角形弯矩图跟图6弯矩图图乘接着减去图5中抛物线弯矩图跟图6图乘的结果。

　　1.2.2求解截面B的竖向位移(图8)

　　B截面的竖直位移为，方向如图中虚拟力的方向。

　　因为虚拟状态下AB段没有弯矩图，因此图乘法过程中图乘AC段弯矩图时只考虑BC段的弯矩图图乘结果：叠加法先确定出C、B两截面的弯矩值接着在虚线下叠加相應抛物线则抛物线与轴线BC所围图线为最后的弯矩图。按照叠加法实质，图乘CB段时图10a图弯矩图分解为图10b和图10c(实质上是图7二次标准抛物线弯矩图)，故该段图乘时将图10b和图10c的弯矩图分别与图9中CB段的弯矩图进行图乘求代数和。图乘CE段时用图9的矩形弯矩图和图10的矩形弯矩图进行图乘：图9的矩形弯矩图计算面积，在图10的矩形弯矩图中找图9的矩形弯矩图的形心位置对应的竖标值;也可以图10的矩形弯矩图计算面积，在图9的矩形弯矩图中找图10的矩形弯矩图的形心位置对应的竖标值。

　　2 结论

　　本文阐释的图乘法实质是应用了叠加法的原理：先用两端弯矩值确定的弯矩图图乘接着减去(或者加上)标准抛物线弯矩图图乘的结果。学生掌握了图乘法的本质就可以很准确地用图乘法进行位移计算，从而避免很多错误的发生。

　　参考文献

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