对一道经典的三角函数高考试题的多视角探究

　　摘 要：本文从不同的视角出发，对2018年全国新课标Ⅰ卷的一道填空题进行研究、剖析，使学生在学习过程中懂原理、会方法，思维得到不断提升，同时也能很好地培养学生数学核心素养.

　　关键词：高考;三角函数;探究

　　《黑龙江教育(高教研究与评估)》(月刊)创刊于2005年，是由黑龙江教育杂志社主办的高教刊物。曾荣获”黑龙江省社科十佳期刊。

　　最值是函数图象的重要特征，也是函数的重要性质，函数性质在高考中属于必考内容，求函数的最值，在于研究函数的图象和利用其性质进行求解.三角函数的最值问题的求解也是如此，既可以迁移函数最值的求解方法，也可以根据三角函数自身的定义、图象和性质进行研究.在高考备考中，如能从不同的视角出发，对三角试题进行研究、分析，就能让学生在学习过程中更好地掌握方法，培养数学核心素养.本文以2018年全国新课标Ⅰ卷的一道填空题为例，阐述解决三角函数最值问题的多种视角，彰显其作为高考试题所散发出来的魅力.

　　1 题目呈现

　　题目 (2018年全国新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)=2sinx+sin2x，则f(x)的最小值.

　　2 解法赏析

　　2.1 导数的视角

　　解析 因为f(x)=2sinx+sin2x的最小正周期为T=2π，

　　所以f ′(x)=2(cosx+cos2x)=2(2cos2x+cosx-1)=2(2cosx-1)(cosx+1).

　　令f ′(x)=0，即2cos2x+cosx-1=0.

　　所以cosx=12或cosx=-1.

　　当cosx=12，即x=π3或x=5π3时，函数f(x)取得极值.

　　当cosx=-1，即x=π时，函数f(x)取得极值.

　　又因为f(5π3)=-3 32，f(π3)=3 32，f(0)=f2π=0，f(π)=0，

　　所以比较大小可知，函数f(x)最小值为-3 32.

　　评析 利用导数求函数的极值，再比较极值与端点的函数值大小确定函数最值，是求函数最值常用的方法.本题利用函数的周期性在一个周期内求三角函数的极值和周期起始点与终点的函数值，比较大小获得函数的最小值.

　　2.1.2 换元法思想

　　解析 令t=sinx，t∈-1，1，则f(t)=2t+2t1-t2，则f′t=4t2t2-34

　　当x∈-1，-32∪0，32时，f′t<0，ft单调递减;

　　当x∈-32，0∪32，1时，f′t>0，ft单调递增.

　　则ft在t=-32或32取极小值.

　　因为f32=3 32，f-32=-3 32，所以fx的最小值为-3 32.

　　评析 利用换元法将三角函数转化为我们熟悉的函数，再进行求导，判断函数在定义域上的单调性以及求函数的极值，进而获得函数的最值，它变换了函数表达形式，让解题更符合习惯，换元是一种很好的转化方式，但是在运用换元法时要注意换元后变量的范围.

　　2.2 平面几何的视角

　　解析 fx=2sinx+sin2x=2sinx1+cosx.

　　如图1，以AB为直径作单位圆，点C为圆上的任意一点，CD⊥AB于点E.

　　设∠COB=x，则sinx=yC=CE，1+cosx=1+xC=AE，故fx=2sinx1+cosx=2SΔACD，当且仅当x=∠CAD=60°时，SΔACD取得最大值3 34.

　　由于fx=2sinx+sin2x为奇函数，故当且仅当x=-60°时，fx的最小值是-3 32.

　　评析 由于三角函数具有单位圆的定义，所以在解决相关问题时也可考虑构造单位圆，利用单位圆内的有向线段表示各个三角函数值，再利用数形结合转化为三角形面积求最值问题，这个求最值的过程很好地利用了三角函数的单位圆定义.

　　2.3 不等式视角

　　2.3.1 均值不等式法

　　解析 fx=2sinx+sin2x

　　=2sinx1+cosx

　　=4sinx·cos2x2

　　=8sinx2cos3x2

　　=83 3sin2x2cos2x2cos2x2cos2x2

　　≤83 3sin2x2+cos2x2+cos2x2+cos2x244

　　=83×916=3 32.

　　當且仅当x=π3时，等号成立，此时fx的最大值为3 22，由于该函数为奇函数，所以fx的最小值为-3 22.

　　评析 “基本不等式”是求积型函数最大值的一种模型，可以有条件地将所求拓展为多元基本不等式.除了条件的要求之外，在模型的构造技巧上有一定的难度，掌握消元的技巧即和为定值是关键，学生在求解函数最值问题时有必要掌握好这一常规工具.

　　2.3.2 琴生不等式法

　　解析 当x∈0，π2时，fx=sinx是上凸函数，由Jensen不等式得，

　　fx=2sinx+sin2x=sinx+sinx+sin(π-2x)

　　≤3·sinx+x+(π-2x)3=3 32.

　　当且仅当x=π3时等号成立，此时fx的最大值为3 22，由于该函数为奇函数，所以fx的最小值为-3 22.

　　评析 此方法利用高等数学中的琴生不等式求解.Jensen不等式是函数凸凹性的重要结论，在最值问题中具有广泛的应用.在高考中借助高等数学背景考查高中数学知识越来越热门，因此了解一些高等数学知识对解题无疑是如虎添翼.

　　3 试题价值

　　精心设计的高考试题，不仅能为考生提供从不同视角思考问题、分析问题的途径，也能检测考生的分析问题、解决问题的能力，正所谓是“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”.对知识的理解也是如此，有了这样的考题，就能让我们通过试题的多姿多彩领悟到了生命的内涵与价值.

　　精心设计的高考试题能从多个不同视角思考问题、理解问题，也能更好地体现教育、考试的公平.

　　精心设计的高考试题能成为后续学习的范例，为后续的教与学以及考试、命题提供可模拟、可变式、可拓展、可借鉴的典范，具有很强的操作、参考价值.

　　精心设计的高考试题同样也承载着学生数学核心素养培养的重任，它为学生的数学逻辑推理、直观想象、数学运算、数学建模等核心素养的培养提供必要的载体.这就是高考试题的价值体现.

　　参考文献：

　　[1]吴志鹏，潘敬贞.一道经典的三角形高考试题赏析[J].理科考试研究，2019(07)：7-9.