落实数学核心素养主题教学视角下的函数奇偶性学习难点分析

　　摘 要: 在《普通高中数学课件标准( 2017 年版) 解读》中指出: “主题教学与单元教学、项目学习、深度学习的含义一致，是相对课节教学而言的，就是从关注一节课、一节课的教学到关注想( 一个单元、一章、一个主题) 的教学。”主题教学是促进数学学科核心素养连续性和阶段性发展的有效、实效、高效的教学方式和观念的革新。对于主题教学从广大一线教师的反馈来看，虽然可以理解原理，但是在具体的实施框架中难以形成具有核心视角的总体设计。

　　本文源自郭磊; 单铭鼎， 考试周刊 发表时间：2021-05-17 《考试周刊》杂志，于2007年经国家新闻出版总署批准正式创刊，CN:22-1381/G4，本刊在国内外有广泛的覆盖面，题材新颖，信息量大、时效性强的特点，其中主要栏目有：艺术教学与研究、班级管理、幼教天地等。

　　关键词: 核心; 教学; 函数

　　函数奇偶性概念在函数内容中处于核心地位，一直是教学研究的重点，然而在教学中多以单课时备课，教学设计与实施过于传统刻板，未见从主题教学视角创新实践教学模式。

　　文章将函数奇偶性实际内容作为载体，综合本校改革实践，以该课题概念理解难点为着眼点，立足主题教学视野进行备课诠释，总结设计、实施可行性做法，阐述采用主题教学手段破解学习难点的应用要点。

　　一、函数奇偶性学习的难点及原因

　　学生在学习函数奇偶性时都会有一定的感性认识，但缺乏深度的理性认识。首先学生对奇偶性概念中的“任意 x∈I，为什么要有，都有 - x∈I”难以获得实质性理解，其次是为什么要判断 f( - x) = f( x) 与 f( - x) - f( x) = 0，再次是 f( - x) = f( x) 与 f( - x) - f( x) = 0 等等价定义的理解。

　　( 一) 没有立足教学宏观视角理解奇偶性本质

　　收集教学参评课并对研究课视频进行资料解读分析后，寻找此类教学文献，经研究发现，教学设计多局限于单课时设计，未从宏观维度对学习难点予以分解。教学实践进行中概念理解不足，在第二课时的教学上，基本上是奇偶性相关考题的解题训练，与奇偶性概念理解实质关系不大。

　　( 二) 学生学习函数奇偶性的困难认识不足

　　在函数奇偶性的教学中，多是高三教师刚刚送完毕业班，而学生是刚刚从初中升入高中，教师个人认为的学生认知水平和学生的实际认知水平有非常大的差异。实际上函数奇偶性的难点并非可通过单课时解决的问题，想要初步理解，至少需要 2 ～ 3 个课时起步，即使如此也无法达到完全理解预期。甚至对于很多抽象函数奇偶性的证明，教师也难以给出完整的证明。

　　( 三) 对函数奇偶性的教育价值认知缺陷

　　研读教师访谈后可知，教师在此课程概念学习中对教育价值认知存在缺陷，受此影响，上数学课思想方法渗透不足。而函数的奇偶性与数学抽象的数学核心素养密切相关，更为密切的是直观想象。在实际授课中，函数奇偶性是以逻辑严谨性诉求为基本动因形成定义，因此要求学生从直观感知到理性符号证明，唯一的途径就是通过逻辑论证加以确认。

　　函数的奇偶性概念中蕴含常量于变量、动静关系以及有限和无限等相关辩证思想，应用概念应对问题，做出概念判断、条件分析、问题求解或证明相关奇偶性命题时，通常对直观想象能力有要求，在直观想象帮助下获得思维启示，做出相应猜想。因此，在概念学习全周期，包括学习、理解、运用等环节，应明确基本思想，形成思维活动经验，辅助后续学习，应锻炼思维与思辨能力，提升数学抽象以及逻辑推理水平、培养直观想象素养，这些素养也是数学学科学习的重要载体。

　　( 四) 程序与技能缺少概念性解读

　　本学科知识体系核心特点之一即为以概念、概念关系构建体系，因此可将数学视为一门阐述概念关系的语言，然而传统教学多侧重事实性技能。在此学科教学中多侧重解读奇偶性定义，通过定义对奇偶性程序、技能进行证明，造成学生对如何“做”过度关注，未能理解要这样“做”的根本原因。虽然学生可从行为方面模仿例题进行证明，但未必理解证明的操作程序如何成为证明。所以主题教学更能使学生的关注点转移到函数奇偶性概念的形成与发展上。

　　二、从主题教学维度整体解读教学内容是易化学生难点的有效途径

　　主题教学重视教学的系统性，是立足课程整体来凝聚主题，以主题核心概念来聚合主题内的各个知识，聚焦核心概念理解构建核心问题，围绕核心问题的研究展开的教学活动。

　　所谓的概念性视角，即通过关注概念来处理事实性知识。从一个概念的形成和发展过程看，概念是不能给予的，要在事实积累、辨别过程中形成，概念界定只可作为概念形成发展基础。对概念学习理解持续深入过程，也是对概念认知的思维固定模式“破”与 “立”过程中的螺旋式循环往复。

　　( 一) 初中学习为事实性层面

　　初中学习以后，学生认知函数奇偶性的层面局限于直观观察现象，以此为基础感知事实层面，未抵达概念层面。

　　( 二) 初、高中之间具有函数奇偶性的概念性理解层面

　　概念性思考即使用已有概念去概况性地界定描述事实。

　　( 三) 问题是推动概念发展的原动力

　　初中对 y = x 2 的直观感知，是学生对对称性的低层次理解，但为什么对称是很多学生并不理解的，这个问题是学生深入理解概念的原动力，是从事实层面到概念层面的有效途径。

　　( 四) 理解“任意”背后的思维观念

　　只有在对变化过程中描述两个取值状态，并非函数变化的过程。基于此原因应促使两个取值状态处于运动状态，进而确保对函数变化中任一组取值状态进行解读，因此要求赋予取值存在任意性。“任意” 促使自变量取值运动，在研究集合中每一组数值运动，实现对函数变化的完整描述。

　　三、函数奇偶性把握多元化视角

　　( 一) 立足上下位的概念体系

　　想要理解函数奇偶性，应以函数性质为范畴进行，同时理解函数性质理解应以函数的范畴为基础，函数概念应从数量关系范畴中加以解读。

　　( 二) 从函数关系中把握奇偶性

　　函数性质的本质即为函数变化规律。分析从变量与关系等基本概念，以其为起点可深入认识函数性质。研究函数变化规律皆将明确自变量范围当作前提条件，这一点取决于研究对象的基本属性。

　　( 三) 从函数性质角度学习奇偶性

　　函数性质实际为函数关系中两变量属性特点联系。f( - x) = f( x) 与 f( - x) - f( x) = 0 即函数奇偶性可转化自变量与函数值大小关系。假设从高中课程全局分析，这一本质表达存在更深刻内涵，从“相等” 的形式可与“差”或“和”的概念产生联系。

　　( 四) 立足数学精神、思想层面学习奇偶性概念

　　数学对象研究通常以定性的认识为起点，最终深入到定量精细化分析，此为数学精神。

　　四、主题教学方案设计，易化学习难点

　　( 一) 凝练主题，明确核心问题

　　设计主题“探索函数的变化规律”，以“自变量 x 发生变化时函数值 f( x) 由其引起的变化”为核心问题设计主题课程。

　　( 二) “探索函数的变化规律”主题教学设计

　　主题: 分析函数变化规律。明确核心问题: 自变量 x 的发生变化时将引起函数值 f( x) 的变化表现。子主题设计为: 单调性、奇偶性、最值、零点、周期性、变化率、极值、渐进性。函数零点概念未研究自变量取值“任意性”，其他皆予以研究，因而‘任意性’理解难点被分解，在其他子主题中分散研究。所述子主题贯穿高一、高二阶段，此外与“任意”理解相关课程也较多。

　　( 三) 函数奇偶性主题教学的活动设计

　　子主题课时规划: 函数奇偶性概念的形成与理解

　　第一课时: 形成奇偶性概念并获得初步理解

　　直观化的描述性定义 形式化定量刻画定义运用概念证明奇偶性

　　第二课时: 觉察概念理解的局限性，修正完善概念理解

　　厘清奇偶性概念中的两变量的关系 理解自 →变量取值的“任意性”的本质

　　第一课时具体教学活动框架:

　　①观察函数的变化规律: 体验函数的原初价值; ②聚焦并描述定义奇偶性; ③寻求奇偶性的理性判断与理解: 以问题促进学生发现描述性定义的局限性，认识理解数学学科的价值取向，逻辑确认; ④形式化定义奇偶性: 让不可见变为可见，实现判断的算法化; ⑤用奇偶性概念证明: 运用概念，解决问题。

　　第二课时具体教学活动框架:

　　①奇偶性概念回顾: 解释奇偶性是什么? 从形成定义的过程认识到什么? 其价值与意义是什么? ②用奇偶性做一些以前不能做的事情: 聚焦难点设计多项挑战性任务; 函数奇偶性概念的深化理解: 积累形成用奇偶性定义思考的经验，感悟函数奇偶性新认识带来的诸多价值。

　　( 四) 主题教学事实

　　在主题教学中，应体现教师的纽带作用，将学生经验系统联结主题知识系统，成为桥梁，应着眼核心概念理解，对主题核心问题加以凝练，同时选择具体适当情境进行分析，引导学生展开学习活动，实现对学生学习经验的多层组织与发展。

　　在此过程中应关注以下几点: ①从学生既往经验出发设情境、提问题; ②要促进知识的价值认同; ③在活动中要先“察”而“后”行; ④教师应聚焦学生理解层面认知误区和相关观点，举办辩论与解释活动; ⑤组织关键节点问题群体讨论。

　　主题教学是体现数学核心的有效手段，是提升数学能力的有效方式，面对新课程标准的修订和新高考的改革，以主题教学为核心的创新性教学方式必将起到更大的作用。