骰子模型中和概率的计算研究分析

　　摘要：概率论中的骰子模型在许多领域有着重要的应用，本文研究投掷多次骰子时，点数之和的概率计算问题.应用生成函数法得上述问题简洁的概率计算公式，并考虑它的推广情形，最后给出几个计算的例子.

　　本文源自牡丹江师范学院学报(自然科学版),2020(03):7-9+74.《牡丹江师范学院学报》(自然科学版)(季刊)创刊于1975年，是由黑龙江省教育厅主管、牡丹江师范学院主办、国内外公开发行的综合性学术期刊(季刊)。主要栏目：数学、物理、化学、生命科学、黑龙江省农林研究、地理科学、计算机理论及应用、体育理论研究、教育理论研究等栏目。本刊坚持社会主义办刊方向，贯彻党的“百花齐放，百家争鸣”方针，坚持严谨科学，求实创新，大胆探索的办刊方针，鼓励理论和经验研究相结合的学术取向，提倡学术批评和交锋。

　　骰子模型有着广泛的应用.[1,2,3,4]苏有菊和魏首柳应用列举法、生成函数方法、母函数法、组合数法给出了投掷次数为2次或3次，点数之和为7或9时概率的具体计算例子.[5,6]本文将对生成函数法展开深入探讨，给出一个结构优美的计算公式，进一步给出任意面体的推广“骰子”，在n次投掷后的点数之和为m的概率计算公式.

　　1、主要结论

　　假设一个传染源在一个周期内传染的个体数可能是1个、2个直到6个，且假设等可能的，即每个概率均为.n个这样的传染源在一个传染周期内，有m个个体被传染上的概率是多少?这个问题可以被抽象为一个骰子被投掷n次，点数之和为m的概率.这是一种在传染病传播研究中一种非常有用的短期模型———骰子模型.应用生成函数和幂级数展开，给出n次投掷骰子过程中点数之和概率计算的一个简洁定理，并考虑它的推广情形.

　　定理1设有一个均匀的骰子，对其投掷n次，得到点数之和为m的概率为

　　其中m-n-6a≥0,a满足不等式的最大非负整数.

　　1. 证明首先，构造一个多项式的n次方，m次方项的系数即为在n次投掷过程中，点数之和为m的组合数.

　　对最后一项应用幂级数展开得

　　在n次的投掷实验中，出现的次数为m，分成以下情况讨论：

　　2. 第一项取xn，第二项取Cn1(-x6)1，第三项取

　　3. 第一项取xn，第二项取Cn2(-x6)2，第三项取

　　综合1,2,3,4所得到的结论，可以看出次数为m的组合数为

　　其中，m-n-6a≥0.a满足不等式的最大非负整数.

　　按古典概型的计算公式，其概率为该组合数除以样本点总数.点数m为的概率为：

　　定理2设有一个k个面的均匀的骰子，对其投掷n次，得到点数之和为m的概率为，其中m-n-ka≥0,a满足不等式的最大非负整数.

　　证明类似定理1，此处不再赘述.

　　2、数值例子

　　例1设3次投掷骰子，点数和为9的概率.[5]

　　解m=9,n=3,9-3-6a≥0,a的取值为1,

　　例2设3次投掷骰子，点数和为8的概率.[6]

　　解m=8,n=3,8-3-6a≥0,a的取值为0,

　　例3设3次投掷骰子，点数和为7的概率.[5]

　　解m=7,n=3,7-3-6a≥0,a的取值为0,

　　上述结论与文献[5,6,7]中完全一致.

　　参考文献：

　　[1]李光正.从随机试验到随机过程的概念演化[J].牡丹江师范学院学报:自然科学版,2014(4):7-9.

　　[2]刘常彪,李臻臻.关于泊松分布高阶矩的一些研究[J].牡丹江师范学院学报:自然科学版,2014(2):5-6.

　　[5]苏有菊.论概率论与数理统计中“骰子”问题的概率[J].普洱学院学报,2017,33(6):21-23.

　　[6]魏首柳.概率论与数理统计中“骰子”问题的概率探讨[J].南阳师范学院学报,2011,10(3):18-20.

　　[7]屈婉玲,耿苏云,张昂立.离散数学[M].北京:清华大学出版社,2008.56-72.