空面反辐射导弹可观测性增强的弹道规划方法

　　摘 要：由于导引体制和空间布局上的约束，反辐射导弹被动雷达导引头仅能输出相对目标的方位角度信息，一般无法闭合制导律的计算，同时考虑抗目标雷达关机的基本功能需求，开展反辐射导弹被动目标定位问题的关键技术研究。首先对被动目标定位问题进行了三维建模，定量分析了系统的可观测性，在此基础上，提出了一种导弹可观测性增强的弹道规划方法，并通过仿真校验，给出了典型非线性滤波器的选取分析。可观测性分析表明制导上弹道的过早、过快的收敛并不利于导弹对目标的定位，控制上需要采取主动干涉弹道的措施，促进被动目标定位滤波器的收敛，同时运用克拉美-罗下界分析目标状态估计的精度上限，并通过定义相应指标进行控制优化设计。通过对三种典型非线性滤波器的比较可知，扩展卡尔曼滤波器适用于被动目标定位问题，在计算量方面具有弹上的可行性，综合滤波性能较好。

　　本文源自战术导弹技术 发表时间：2021-03-23 《战术导弹技术》(双月刊)创刊于1980年，是由中国航天科工集团第三研究院主办、航天导弹总体专业信息网协办，是为导弹的研究、设计、制造、试验、使用服务的综合性学术技术类刊物。主要栏目：总体技术、制导与控制技术、推进技术、计算机应用技术。

　　关键词：反辐射导弹;制导;被动目标定位;可观测性分析;扩展卡尔曼滤波;弹道规划

　　1 引 言

　　由于导引体制上的固有特性，反辐射导弹所采用的被动雷达导引头无法输出用于闭合制导计算的视线角速度、失调角，弹目距离等信息，而仅能输出相对于目标的两个视线角。在这种情况下，目标信息也只能从这两个角度中提取，因此，上述问题属于纯方位目标定位问题或被动目标定位问题的研究范畴[1-8]。被动目标定位问题虽然可以用一些新型的方法解决或分析[9-11]，但本质上仍然是一个非线性滤波问题[3，7]。

　　对于纯方位目标跟踪问题，Stamfield 估计法和伪线性估计法是最常见的两种基于最小二乘的定位算法[12]，算法易于实现，但缺点是有偏估计，因此出现了如辅助变量法、约束最小方差法和总最小方差法等一些消除偏差的算法[13]。文献[14] 分析了扩展 Kalman 滤波在纯方位目标跟踪中的性能。文献 [15] 提出了基于距离参数化的均方根容积Kalman 滤波算法。文献 [16] 给出了一种高斯和容积Kalman滤波纯方位跟踪算法。上述文献重点研究纯方位量测情况下的目标定位算法，并未考虑到反辐射导弹这一类仅能测角的制导武器的特点，对于制导武器，除了要完成对目标位置的估计，还需要控制弹体向着减少瞬时脱靶量或视线角速度的方向上运动，从而完成对目标打击的实际需求。而控制弹体运动减少视线角速度会降低导弹对目标可观测性，影响估计性能，并最终影响目标打击效果。在仅有角度测量的条件下，系统可观测性的强弱与导弹飞行弹道紧密相关，合理的弹道规划可以提高系统的可观测性。

　　本文主要研究反辐射导弹打击地面雷达目标时，被动定位的可观测性、最优弹道规划和滤波方法选取等关键技术，从而为反辐射导弹纯方位量测情况下的目标打击提供关键技术支撑。在可观测性分析的基础上，提出导弹可观测性增强的弹道规划方法，用于进一步提升滤波器的收敛性能。

　　2 被动目标定位问题建模

　　三维弹目相对运动关系如图1所示，被动雷达导引头仅能提供视线高低角θ和视线方位角ψ。根据反辐射导弹的典型目标特性和弹道特性，以及正常的作战使用，θ，ψ ∈ ( - π 2，π 2)，通常应在一个更小的范围内。如图 1 所示，反辐射导弹和目标的坐标分别为( xm，ym，zm )和( xt ，yt ，zt )，建立导弹、目标与视线角之间的几何关系为：

　　ψ = arctan ( z(t) x(t) ) θ = arctan ( y (t) x2 (t) + z 2 (t) ) (1)其中，x = xt - xm，y = yt - ym，z = zt - zm 表示弹目相对距离。

　　考虑反辐射导弹典型目标静止或可以当作静止目标处理的情况，建立系统的状态方程为： Ẋ = 0 ⋅ X + B(t)u(t) (2)其中，X = x(t) = xt (t) - xm (t) 为弹目相对位置向量，B(t) = -I 3 × 3 是负的单位阵，u(t) = vm (t) 是导弹的速度向量。由于目标静止，vt (t) = 03 × 1 ，从而 x ̇ (t) = -vm (t)。

　　在直角坐标系下，反辐射导弹被动目标定位问题采用系统方程式 (1) 和量测方程式 (2) 建模，由此可见被动目标定位问题是一个状态方程为线性，量测方程为非线性的非线性系统。

　　3 可观测性分析

　　由于误差只影响系统解的精确程度，并不影响该解的存在唯一性，因此在系统可观测性分析时可不考虑误差的影响。利用系统可观测的秩判据进行可观测性分析。定义：N = [ n0 (t) n1 (t) ⋯ ni - 1 (t)] T (3)其中，ni - 1 (t) = d dt ni - 2 (t) + ni - 2 (t) ∂f ∂XT。对于本文的被动目标定位问题，f表示量测方程部分。如果存在一个时刻，矩阵 N 满秩，则该时刻系统是可观测的。

　　由于空面反辐射导弹的典型目标为固定目标，式(1)和式(2)可进一步表示为： ì í î ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ẋ = -vx ẏ = -vy ż = -vz ψ = arctan ( z(t) x(t) ) θ = arctan ( y (t) x2 (t) + z 2 (t) )其中，vx，vy，vz是导弹在导航坐标系的速度分量。利用式(4)，计算N阵如式(5)所示。 N = é ë ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê êê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú úú ú ú ú ú ú ú ú ú ú - 1 x 0 1 z - x x2 + z 2 1 y - z x2 + z 2 d dt (- 1 x ) 0 d dt ( 1 z ) d dt (- x x2 + z 2 ) d dt ( 1 y ) d dt (- z x2 + z 2 ) d2 dt 2 (- 1 x ) 0 d2 dt 2 ( 1 z ) d2 dt 2 (- x x2 + z 2 ) d2 dt 2 ( 1 y ) d2 dt 2 (- z x2 + z 2 ) (5)假设导弹速度大小变化不大，则 N 阵可简化为： N = é ë ê ù û ú Nt 0 (6)其中， Nt = é ë ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú - 1 x 0 1 z - x x2 + z 2 1 y - z x2 + z 2 vx x2 0 - vz z 2 ( x2 - z 2 )vx + 2xzvz ( x2 + z 2 ) 2 - vy y2 2xzvx - ( x2 - z 2 )vz ( x2 + z 2 ) 2 (7)由式(7)得到N阵满秩的条件为 vx x ≠ vz z z ≠ 0 (8)

　　由式 (8) 可知，系统可观测的条件为反辐射导弹作方向不指向目标的匀速直线运动。这也就要求导弹在水平方向具有一定的位移，但由于导弹总是在减少脱靶量的方向上运动，这一点可能与实际的控制效果相违背。而水平方向上导弹飞行弹道的过早、过快的收敛并不利于导弹对目标的观测和定位，控制上需要采取相应的措施，进行导弹飞行弹道的主动干涉，以提高系统的可观测性，进而提高被动定位滤波器的收敛速度。

　　4 可观测性增强的弹道规划

　　由于导引头仅能提供相对目标的方位指示信息，目标信息或弹目距离无法根据这些信息直接重构，因此无法闭合制导律的计算。正常情况下，制导律都会控制导弹向着弹道收敛的方向上运动，这样会造成导弹对目标的可观测性变差，如图 2 所示的极端情况，导弹对视线上目标的观测量始终是一样的，无法只通过角度来区分不同的目标。

　　可观测性变差使得目标信息的估计精度也会越来越差，估计性能越差，制导性能也会越差。可见，制导方法和可观测性之间存在着矛盾，越是先进的制导方法，视线角速度的收敛速度一般越快，反而越不适用于反辐射导弹的制导[17-18]。因此，对于导引头仅能提供相对目标的方位指示信息的情况，需要综合考虑制导律和滤波器的收敛性能。因此水平方向上，在滤波器收敛效果不理想时，在保证对目标稳定截获的情况下，施加小幅的机动或控制，如图 3 所示，通过主动改变弹道形状的方式促进滤波器的收敛。

　　定义 P 为典型滤波器的估计均方误差矩阵，则式(9)的不等式成立。

　　P = E {(X - X̂)(X - X̂) T } ≥ P∗ = CRLB (9)其中，P∗ 为滤波器的估计均方误差的性能极限矩阵 ， 称 为 克 拉 美 - 罗 下 界 (Cramer-Rao lower bound，CRLB)，表示误差的下限或精度的上限。由此可以认为，滤波器每一步计算的估计误差的均方差阵 P 反映了信息估计的误差，因此可以据此定义相应的性能指标，并以主动干涉导弹飞行弹道的方式进行控制优化设计，从而提高滤波器的收敛速度。由此，定义性能优化指标为： J = uT u + κ ⋅ tr(P) (10)其中，u 为导弹的控制量，tr () 为矩阵求迹运算。

　　5 被动目标定位滤波模型

　　5. 1 典型非线性滤波器

　　目前被广泛研究的典型非线性滤波器包括粒子滤波器 (PF)、无迹卡尔曼滤波 (UKF) 和扩展卡尔曼滤波器(EKF)等。

　　PF可以作为解决复杂非线性滤波问题的有效手段，不受模型的线性和高斯噪声假设的约束，但PF同时也存在算法计算量过大，随着时间的增加可能出现粒子退化的缺点。一般而言，UKF 算法相比于 EKF 算法在估计精度和收敛速度上存在优势，但在复杂性和计算量上存在劣势，例如 UKF中在构造每一个Sigma点时都需要实时计算估计均方误差阵的平方根。

　　UKF 相对于 EKF 的优势是基于系统可观、状态模型和噪声特性相对准确的前提下，对于被动目标定位问题，由于系统的可观测性较弱，还需要通过仿真进一步校验。

　　5. 2 被动目标定位滤波模型

　　针对反辐射导弹典型目标特性的情况，对式(4) 进行离散化并加入系统误差和量测误差，可以得到：

　　ì í î ï ï ï ï ïï ï ï ï ï ï ï ïï ï ï é ë ê ê ê ê ù û ú ú ú ú xk yk zk = é ë ê ê ê ê ù û ú ú ú ú xk - 1 yk - 1 zk - 1 + (-I 3 × 3 ) é ë ê ê ù û ú ú vmx vmy vmz + wk - 1 ψ = arctan ( zk xk ) + v1k θ = arctan ( yk x2 k + z 2 k ) + v2k (11)由于导弹控制量改变了飞行速度在导航系下各个方向的分量，可将向量 u = [vmx vmy vmz] T 作为控制量。

　　PF算法和UKF算法可基于对应的滤波原理进行编程实现。EKF 算法中量测方程的泰勒级数展开式为： Hk = é ë ê ê ê ê ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ú ú ú ú - zk x2 k + z 2 k 0 xk x2 k + z 2 k - xk yk R x2 k + z 2 k x2 k + z 2 k R - xk zk R x2 k + z 2 k (12)其中，R = x2 k + y 2 k + z 2 k。

　　5. 3 三种非线性滤波器的仿真比较

　　针对有无主动控制输入干涉和系统模型是否准确的四种组合情况，进行了EKF、UKF和PF的仿真比较。由可观测性增强的弹道规划结果，控制输入会增强系统的可观测性。系统状态噪声体现了系统建模的准确程度，包括模型误差和未建模系统特性。假设噪声符合高斯分布的情况下，可以采用系统噪声的方差阵 Q 来表示建模的准确程度。仿真中，通过选取不同的 Q 值来表示模型的准确程度，导引头的测角噪声为 17. 5 mrad (3σ)，PF的粒子数为200。

　　(1)准确模型且存在控制输入下的仿真

　　该情况下的目标位置估计误差如图4所示。由图4可知，三种滤波器的估计性能是基本相当的，但PF的收敛速度最快。EKF滤波器并未因为泰勒展开近似而表现出性能的下降，且由于其计算量是三种滤波器中最小的，综合性能最好。

　　(2)模型不准确且存在控制输入下的仿真

　　该种情况下的目标位置估计误差如图5所示。从图 5 中可以发现，由于模型准确性下降，目标位置的估计误差有所增大;EKF 和 UKF 两种非线性滤波器的估计性能是基本相当的，而PF的估计性能有所下降，且整体效果较 EKF 和 UKF 要差。对于不准确的被动定位系统模型，PF出现了一定程度的粒子退化现象，从而造成估计性能的下降。

　　(3)模型准确且不存在控制输入下的仿真

　　该种情况下的目标位置估计误差如图6所示。从图 6 中可以发现，目标位置的估计误差相比于存在控制输入情况下的精度要差，且收敛效果也较差，主要由于被动定位系统的弱观测性造成，而有控制输入的情况通过改变导弹的飞行弹道，可以增强对目标的可观测性，从而获得更好的性能。

　　(4)模型不准确且不存在控制输入下的仿真

　　该种情况下的目标位置估计误差如图7所示。从图 7 中可以发现，由于模型不准确且不存在增强可观测性的控制输入，该种情况是条件最差的情况，滤波结果也是最差的。提高模型的准确程度和整个系统的可观测性，是提高被动目标定位滤波器的收敛速度和估计精度的重要手段。

　　(5)仿真结果分析

　　对于式 (4) 所示的被动目标定位问题，UKF 算法并未表现出对 EKF 算法的明显优势，二者估计精度和收敛速度是相当的，而由于被动定位问题本身是可观测性较差的，即使通过外部控制增强可观测性，PF的性能优势也并不明显。仿真结果也进一步表明提高模型的准确程度和整个系统的可观测性，是提高被动目标定位滤波器的收敛速度和估计精度的重要手段。

　　EKF 算法在计算量、估计精度和收敛速度等方面完全可以满足导弹实际产品研制的需要，并且 EKF 算法在其它部分领域内也已实现了工程上的应用，这一点是PF和UKF等大计算量滤波器所未实现的。同时，式 (4) 所描述的被动定位问题，并不属于复杂的非线性问题，采用 EKF 滤波方法完全可以胜任该问题的处理。

　　6 结 论

　　(1) 水平方向上弹道的过早、过快收敛并不利于反辐射导弹对目标的定位，控制上需要采取相应的措施，进行飞行弹道的干涉，从而提高系统的可观测性和被动定位滤波器的收敛速度;

　　(2) 在滤波器收敛效果不理想时，运用CRLB 的表达式分析目标任一时刻状态估计的精度上限，并定义相应的指标，以主动干涉导弹飞行弹道的方式进行控制优化设计，可以提高滤波器的收敛速度;

　　(3) 典型的非线性滤波器在被动目标定位上的滤波性能、计算量、工程应用情况等方面的仿真比较和分析表明，EKF 可作为被动目标定位的滤波方法，且具备弹上可实现性。