浅谈大面积测区控制测量中投影变形的精度分析

　　摘 要:本文首先分析了投影变形产生的原因，长度投影变形给测量工作造成的多种误差。基于椭球投影过程中产生的变形进行了全面的探讨和研究。对如何来控制投影变形提出了一些解决方案，并以工程实例进行分析说明。尤其是在大面积的跨带测量工程中必须解决好如何控制投影变形的问题，否则会导致地形图上的长度与实际长度不符。

　　关键词:投影变形,坐标系,投影带,中央子午线,控制网

　　引 言

　　现在的工程测量任务中工程测量控制网不但应作为测绘大比例尺地形图的控制基础，还应作为城市建设和各种工程建设施工放样测设数据的起始依据。为了便于施工放样工作的顺利进行，要求由控制点坐标直接反算的边长与实地量得的边长，在长度上应该相等。但是我国目前采用的54北京坐标系和80西安坐标系等都是高斯-克吕格投影即等角正形横切椭圆柱投影。在由椭球面投影到平面时会有距离、角度、图形呈现差异，即投影变形。还有一些面积比较大的工程测量任务可能横跨一个或几个投影带，这时长度投影变形将是影响测量精度的主要问题。本文将对这一问题利用实际案例来阐述如何减小投影变形，从而满足工程测量的精度要求。

　　2 投影变形产生的原因

　　2.1椭球投影与投影变形的概念

　　就是将椭球面各元素(包括坐标、方向和长度)按一定的数学法则投影到平面上。可用下面两个方程式(坐标投影公式)表示：

　　式中L,B是椭球面上某点的大地坐标，而是x,y该点投影后的平面直角坐标。

　　椭球面是一个凸起的、不可展平的曲面。将这个曲面上的元素(距离、角度、图形)投影到平面上，就会和原来的距离、角度、图形呈现差异，这一差异称为投影变形。

　　根据CJJ73-97《全球定位系统城市测量技术规程》的规定投影长度变形值不得大于2.5cm/km。

　　2.2椭球投影变形产生的原因

　　图2-1 投影示意图

　　地球表面是球面，而地图通常是绘制在平面图纸上，因此制图时首先需要把球面展为平面。但是球面是个不可展的球面，这就是说，若把它直接展为平面，必然发生破裂或褶皱。所以必须采用特殊的方式将球面展开，使其成为既不破裂又无褶皱的平面。

　　如图2-1所示，将地球的球面展为我们需要的坐标系平面上时，也就是将地球上的点一一画在平面上，需要用地理坐标，直角坐标和极坐标来表示，我们要采用一定的数学方法来确定这些坐标之间的关系。这种在球面和平面之间建立点与点之间对应关系的数学方法称为地图投影。用地图投影的方法将球面展为平面，虽然可以保持图形的完整和连续，但它们与球面上的经纬网形状并不完全相似，必然要产生变形，无论那种地图投影法都有变形，包括长度变形、面积变形、角度变形或形状变形。有的投影图上，几种变形都存在，也有的投影图上可使面积无变形，而角度变形较大;也可使角度无变形，而面积变形较大。由于高程面的不同所产生的长度变形也是投影变形产生的一种主要表现形式。

　　高斯-克吕格正形投影是目前我国采用的投影方式，投影示意图如上图。由图可知，投影后中央子午线为直线，长度没有变化。而两侧的地形线长度投影后都有不同程度的变化，并且越是远离中央子午线变形越大。如下图2-2所示

　　3 长度投影变形的主要解决方法

　　3.1抵偿投影带法

　　根据测区位置合理选择中央子午线的位置，是长度投影到该投影带所产生的变形，恰好抵偿这一长度投影到椭球面所产生的变形，这时高斯投影面上(即设计图纸上)的长度也能够和实地长度保持一致，避免长度变形超限。

　　3.2抵偿高程面投影法

　　将大地线有较高的高程面化算至较低的椭球面时，长度总是减小;而将椭球面上的大地线投影到高斯平面上时，长度总是增加的。根据它们的抵偿性质，如果适当选择椭球的半径，使长度化算到这个椭球面上所减小的数值，恰好等于有这个面投影到高斯平面上所增加的数值，那么高斯平面上的距离与实地距离就一致了。这个适当半径的椭球面就是抵偿高程面。

　　我们知道，控制点间的观测边长D归化至参考椭球面时，其长度将缩短△D，近似关系为△D /D=h/r，h为控制点间平均高程，r为地球平均曲率半径。椭球面上的边长S投影至高斯平面，其长度将增长△S，近似关系为△S/S=(Ym)²/2R²，Ym为控制点间的平均横坐标。由以上公式可知当测区中心距离中央子午线大于45千米时，长度变形将大于1/40000，即长度投影变形大于2.5cm/km，应采取措施控制投影长度变形。

　　4 实例分析投影变形的控制方案

　　4.1测区概况及任务要求

　　资源调查区位于华北平原南部、河南省中东部。地理坐标为北纬33°58′07″—34°05′46″;东经113°52′31″—114°21′44″。东西长约45km，南北宽约16km，面积约480km²。该测区属黄淮平原的一部分，主要由黄河、淮河水系冲积而成。全区地势平坦，平均海拔高度在65m左右，测区属平原地貌。

　　本测区共布设由8条二维测线，总长度为148KM，东西向的最长测线为48KM。设计图纸为中央子午线采用117度，高斯6度带正形投影，坐标系统为1980年西安坐标，采用1985国家高程基准。要求在测区内布设一定密度的E级GPS控制点，能满足测区内施工放样和后续地质勘查的需要，并在实地放样出设计的二维测线。

　　4.2测量任务的情况分析

　　4.2.1测量任务分析

　　由于本测区面积大，东西跨度长，且位置处在19和20两个6度正形投影带之间，据两个带的中央子午线较远，测区中心位置距离设计的投影带中央子午线的距离约270KM,若按设计数据来施工，长度投影变形为83.5cm/km,投影变形误差为1/1198远大于规范要求的1/40000。因为本测区属平原地区，平均海拔高程不大约为65m。因此知道该区的投影变形主要是因为投影带选择问题而产生的变形过大。为减小边长投影变形，应选择抵偿投影带法来控制投影变形。若选用中央子午线为114度，高斯3度带正形投影，本勘探区处在中央子午线附近，最远端据中央子午线为39.5KM。投影变形小于1/40000，满足规范、设计要求。

　　4.2.2已有资料的分析和利用

　　在测量前期的准备阶段，我单位在该区所属的测绘主管单位搜集到测区内和测区附近的西安80坐标系中央子午线为117°的6度投影带的国家等级点数据12个，和中央子午线为114°的3度投影带的国家等级点数据10个。经实地踏勘和数据分析两个投影带中各有4个国家等级控制点可以利用，可作为本次测量工作的起始控制测量数据使用。

　　4.3 E级GPS网的布网方案

　　由于调查区面积较大，原有国家等级控制点破坏严重，已不能满足本次勘查工作的需要。所以在勘察区内加密了E级GPS控制点73个。

　　4.3.1 布网要求

　　GPS网相邻点间基线中误差 按下式计算：

　　式中(mm)为固定误差;(ppm)为比例误差系数;(km)为相邻点间的距离。E级GPS网的主要技术要求应符合表4-1规定。相邻点最小距离应为平均距离的1/2～1/3;最大距离应为平均距离的2～3倍。

　　注：当边长小于200m时，边长中误差应小于20mm。

　　4.3.2布网原则与网形设计

　　(1)GPS网根据测区实际需要和交通状况布设和埋设。GPS网的点与点间没法做到每点通视，但考虑常规测量方法加密时的应用，部分点有1～2个通视方向。

　　(2)在布网设计中顾及到原有测绘成果资料以及各种大比例尺地形图的沿用，对凡符合GPS-E级网布点要求的旧有控制点，都充分利用其标石。

　　(3)GPS网由若干个独立观测环构成和附合线路构成。E级GPS网中每个闭合环或附合线路中的边数都符合表格4-2的规定。

　　非同步观测的GPS基线向量边，按所设计的网图选定，也可按软件功能自动挑选独立基线构成环路。

　　(4)为求定GPS点在西安80坐标系中的坐标，在本次控制测量的布网过程中把两个坐标投影带的8个国家等级点都进行了利用联测，并为GPS网结算后精度进行分析做准备。如下GPS网联测图图4-1所示

　　4.4数据处理方案

　　(1)起算数据与坐标系统

　　起算数据采用中央子午线117度，高斯6度带正形投影和中央子午线114度，高斯3度带正形投影，两个投影带分别进行平差计算。坐标系统为1980年西安坐标。参考椭球：1975年IUGG推荐椭球(国际大地测量协会1975)西安80坐标系基准椭球(a=6378140m;b=6356755.2881575286m;α=1/298.257)。

　　高程系统采用1985国家高程基准。

　　(2)三维无约束平差

　　当GPS基线各项质量检验符合要求时，应以所有独立基线组成闭合图形，以三维基线向量及其协方差阵作为观测信息，以一个点的WGS-84系三维坐标作为起算依据，进行GPS网的三维无约束平差。以提供各GPS控制点在WGS-84坐标系下的三维坐标，各基线向量三个坐标差观测值的改正数，基线边长以及点位和边长的精度信息，并生成GPS高程拟合的数据文件。

　　在三维无约束平差中，基线向量的改正数绝对值应满足下式要求：式中：为E级GPS控制网规定的基线的精度。

　　当超限时，可认为该基线或其附近存在粗差基线，应采用软件提供的方法或人工方法剔除粗差基线，直至符合上式要求。

　　(3)二维约束平差

　　在无约束平差确定的有效观测量基础上，以起算数据中提供的已知点作为强制约束的固定值，进行二维约束平差。平差结果就输出各GPS控制点在前述的坐标系统中的二维平面坐标，基线向量改正数，基线边长、方位以及坐标、基线边长、方位的精度信息，转换参数及其精度信息。

　　约束平差中，应将已知坐标点组合成不同的约束条件，以发现作为约束的已知坐标与GPS网不兼容性(即约束平差结果严重扭曲GPS无约束平差结果的精度)。

　　4.5投影变形控制结果分析

　　控制测量使用两个投影带数据分别进行平差计算得到两套控制点坐标数据，并从其中选取了6条基线边，利用精度为±2mm+2ppm的全站仪进行实地测量边长，再进行数据对比分析。

　　4.5.1 3度投影带的边长数据分析

　　将实测边长近似当做两点的平面直线距离。有上述图表可知，较差最大边为3.4cm，投影误差为1/48090，小于规范要求的1/40000。

　　4.5.2 6度投影带的边长数据分析

　　将实测边长近似当做两点的平面直线距离。有上述图表可知，较差最大边为167.9cm，投影误差为1/975，大于规范要求的1/40000。

　　通过上面的数据比较可见，当测区面积较大、海拔高程较高、起伏较大或处于投影带边缘处离中央子午线大于45公里时，采用高斯正形投影任意带的平面直角坐标系，可有效的控制投影变形，使投影变形在限差之内。

　　5 结束语

　　大面积测绘工程控制网的布设量大面广，除合理分析选择起算数据外，坐标系统的确定是首要的一步工作，而坐标系统的确定最关键的问题是长度投影变形量的控制，合理利用本文探讨的抵偿投影带法、抵偿高程面投影法等方法将较好地控制大面积测绘工程控制网测量中的投影长度变形值，为工程施工提供可靠保障。关于坐标系的确定原则为：

　　(1)大面积测绘工程根据跨越经线情况，择优先选用高斯正形投影3°带平面直角坐标系。

　　(2)当测区中心离开中央子午线距离较大时(如平原地区约为45km)，采用高斯正形投影任意带平面直角坐标系。

　　(3) 采用高斯正形投影任意带平面直角坐标系时，作为起算数据的国家控制点成果应换带至相应的中央子午线。

　　参考文献

　　[1] 褚广荣，《地图概论》，北京师范大学出版社

　　[2] 《全球定位系统(GPS)测量规范》，GB/T18134-2001。

　　[3] 《煤炭煤层气地震勘探规范》，MT/T 897-2000。

　　[4] 李青岳，《工程测量学[M]》, 北京：测绘出版社，1984年。

　　[5] 刘基余等，《全球定位系统原理及其应用》，测绘出版社，1993年10月.

　　[6] 吕忠刚等，《关于抵偿高程面和移动中央子午线最佳选取问题的研究》，东北测绘出版社，2002年。