基于虚拟制备的金属橡胶各向异性本构特性研究

　　摘要：金属橡胶是一种各向异性的多孔材料，其本构特性常靠人工经验或试验获得，内部复杂的螺旋网状结构无法通过测试手段弄清机理。为此，运用虚拟制备技术与数值动态重构等手段，深入探究金属橡胶内部空间几何拓扑结构和弹簧微元间接触摩擦机理，结合扫描电子显微镜(Scanning electron microscope，SEM)中材料的微观形态进一步解释金属橡胶在宏观上的各向异性力学行为。通过引入弹簧微元组合概率分布以及空间局域性孔隙分布的概念，有效表征金属橡胶材料内部弹簧微元无序式网格互穿结构。充分考虑金属橡胶细观上的空间拓扑结构与微观摩擦机理参量，以及包含了材料形状、相对密度、金属丝直径、螺旋卷螺距、金属丝弹性模量等宏观制备参数，构建能够反映金属橡胶细观结构特征与宏观性能相一致的各向异性本构模型。通过与材料准静态压缩试验结果对比分析，采用残差分析定量验证。结果表明，提出的金属橡胶各向异性的本构模型，能够有效地反映与预测金属橡胶材料的复杂各向异性力学行为，为材料的深入研究与应用普及提供一定的理论指导。

　　关键词：金属橡胶;各向异性;数值动态重构;空间几何拓扑;微观摩擦机理

　　任志英; 方荣政; 陈小超; 沈亮量; 白鸿柏; 林有希， 机械工程学报 发表时间：2021-11-17

　　0 前言

　　金属橡胶是一种弹性多孔金属基材料，能够克服传统高分子橡胶材料易老化、温度等环境适应性差等缺点，已经是航天、航空、航海装备及兵器、地面突击装备等国防高技术领域急需的关键减振降噪材料[1-2]。同时金属橡胶又是一种内部结构复杂、制备工艺繁琐的阻尼减振材料，如图 1 所示。金属橡胶材料的制备工艺流程包括了三个部分，前处理阶段主要是将绕制、定螺距拉伸制成的金属丝螺旋卷，而毛坯成形阶段则采用缠绕或编织等工艺制备成金属橡胶毛坯，最后一部分是将毛坯放入特制模具中进行冷冲压成形，如图 1c 所示。为了进一步改善材料力学性能，通常还采用基于回火工艺的热处理等后处理[3]。

　　复杂的制备流程使得金属橡胶内部结构呈现出无序网格勾连交错分布状态，在宏观上呈现出材料的各向异性本构行为。目前关于金属橡胶材料本构机理研究方法主要有基于试验的数据分析与基于数值模拟的等效模型。RODNEY 等[4]通过力学试验与离散元模拟相结合，分别研究了基于铜、形状记忆合金和聚酰胺等材料研制的金属橡胶泊松函数关系。YANG 等[5]结合材料动力学试验，通过提出了截面畸变系数评价振动可靠性，研究环形金属橡胶在循环动载荷下的振动可靠性特征和阻尼性能。但该方法需要大量的试验数据支撑，对试验过程的稳定性十分敏感，为此，学者们开始采用仿真手段解释材料的本构机理。LI 等[6]以多孔材料为基础，结合小曲梁模型建立了金属橡胶非线性本构关系。曹凤利等[7]对金属橡胶内部弹性微元的空间运动模式与变形模式进行分析，基于悬臂曲梁模型建立了包含材料基本结构参数、细观特征参数的金属橡胶本构模型。朱彬等[8]根据不同的接触状态，分别建立了横向和纵向排列的弹簧微元体金属橡胶迟滞特性的本构模型。XUE 等[9]对金属橡胶内部的弹簧微元分布角度进行了正态分布假设，在此基础上通过悬臂曲梁模型研究了金属橡胶的迟滞特性与变刚度力学特性。当前研究主要是金属橡胶的成形向，关于非成形向的本构特性研究较少。只有国内学者曹凤利等[10]依据金属橡胶非成形向变形的主要特征，通过二维曲梁的动态形变原理与材料内部的接触点分布规律，建立金属橡胶非成形向的力学模型。XUE 等[11]基于金属橡胶的缠绕与编织工艺，通过准静态与动态试验对材料的各向异性行为进行分析讨论。

　　综上所述，现有关于金属橡胶材料的本构机理研究多采用等效模型，或单一规律性的横/纵向分布的弹簧微元结构，无法诠释材料受载时错综无序排布结构变化情况，更无法有效反映出金属橡胶的宏观力学性能。且现有的微观接触力学模型严格意义上属于准静态范畴，难以准确地描述复杂螺旋网状结构弹簧微元间各接触点的应力、应变、接触点分布等随着外力作用后，弹簧微元相互接触滑移、挤压及变形时的动态演化过程，同时绝大多数模型都是围绕成形方向的本构特性[12]，因而不能对于金属橡胶各向异性的本构特性做出全面准确的预测，很大程度限制了该材料的进一步推广应用。

　　为此，本文以缠绕加工方式制备的空心圆柱金属橡胶为研究对象，建立综合考虑金属橡胶各向异性、材料属性、弹簧微元几何尺寸及缠绕工艺参数等因素的螺旋网状结构有限元模型，探究材料在各向动态效应下弹簧微元的空间几何拓扑关系以及荷载作用下的接触摩擦演化规律，构建从微观角度能有效反映金属橡胶内部弹簧微元细观接触摩擦参数与宏观制备参数的材料各向异性本构模型，为制备金属橡胶提供一定的理论依据。

　　1 金属橡胶各向异性力学行为研究

　　1.1 金属橡胶细观形貌结构与宏观力学行为研究

　　为深入研究金属橡胶各向异性的力学性能，采用 SEM 观察材料在不同方向上呈现出的细观纹理，如图 2 所示。金属橡胶在成形向上弹簧微元排布致密均匀，其弹簧微元间主要是群聚性规律的重叠结构;而非成形向上的金属橡胶弹簧微元结构纹理相对稀疏，在空间上主要是弹簧微元缠绕交错的特征。金属橡胶在结构上的各向异性直接导致了在宏观力学性能也存在着显著的差异性。图 3 为在成形/非成形向对金属橡胶进行准静态加卸载试验得到的材料迟滞曲线。结果表明与金属橡胶在成形方向上受迫运动所呈现的高度非线性刚度行为相比，材料非成形向的平均刚度明显大于成形方向，还是一种准线性的刚度行为特征。但是 SEM 仅仅观察到了金属橡胶的表面形貌，内部结构却无法获得，为此，本文将采用虚拟制备技术构建具有复杂螺旋网状结构的金属橡胶有限元模型，从最大程度上还原多孔无序结构，实现对材料各向异性特性的探索。

　　1.2 复杂螺旋网状结构金属橡胶有限元模型

　　1.2.1 金属橡胶虚拟制备技术

　　从图 1 可知，金属橡胶的制备工艺主要采用缠绕或编织技术形成毛坯，然后将其放入特定的模具中进行冲压成形。其中常见的缠绕工艺，主要将弯曲螺旋卷按一定的制备参数绕着模具的芯轴进行缠绕制备。以毛坯的缠绕工艺为基础，假设单根弯曲螺旋卷的旋转轴线A 是一条圆柱螺旋线，则方程为 1 2 1 0 cos sin [ , ] ( ) X R Y R Z Z ⎧ = ⎪ ⎨ = ∈ ⎪ ⎩ = −+ ψ ψ ψ ψψ ρψ ψ (1) 式中，ψ 为参数， 1 2 ψ ∈[, ] ψ ψ 为ψ 的取值范围， R 为旋转轴线A的半径，Z0为 Z 轴起始点坐标。

　　在 A 的起始点 1 10 ( cos , sin , ) R RZ ψ ψ 处建立初始局部坐标系 11 11 oxyz ，其 1z 轴的单位方向向量在全局坐标系下的描述为 1 1 0 1 11 12 13 22 22 22 000 sin cos (, , ) , , R R Z zzz RZ RZ RZ ⎛ ⎞ − = = ⎜ ⎟ +++ ⎝ ⎠ ψ ψ λ (2) 通过引入旋转矩阵 C，将初始局部坐标系 1 x 轴， 1 y 轴的单位方向向量在全局坐标系下进行表征 cos sin 0 0 1 0 0 0 sin cos 0 0 0 cos sin 0 0 0 1 0 0 sin cos 0 0 0 01 0 0 0 1 C ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ − = − ⎝ ⎠⎝ ⎠ α α αα β β β β (3) 式中， 0 1 2 2 0 arccos(cos ), arccos Z R Z ⎛ ⎞ = = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + ⎝ ⎠ α ψβ 。 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 123 1 123 , , ,1 1,0,0,1 , , ,1 0,1,0,1 xxx yyy − − ⎧ = ⎪ ⎨ ⎪ = ⎩ C C (4) 便得到了初始局部坐标系单位方向向量在全局坐标系中的描述。最后将全局坐标系原点和单位方向向量在初始局部坐标系下表述为 00 0 (,, ) uvw , (,, ) x x x uvw ,(,, ) yy y uvw ,(,, ) z z z uvw 。至此，通过螺旋卷不断自转的同时，其局部坐标系也沿着旋转轴线旋转移动使其不断更新迭代，从而得到了单根金属橡胶螺旋卷的全局坐标参数(图 4a)。

　　基于上述方法按照一定的金属橡胶毛坯螺旋卷缠绕规则生成一系列的螺旋卷后，引入非经典摩擦理论下罚函数算法[13-14]，完成了从金属橡胶毛坯制备到冲压成形的制备流程，见图 4b 和图 4c，最终虚拟仿真了整个缠绕制备工艺流程，构建了金属橡 胶复杂网状结构的几何模型与有限元模型。

　　从图 4c 中可以清楚地看到通过虚拟制备技术的金属橡胶有限元模型，能够有效地反映金属橡胶内部弹簧微元真实结构形貌。根据纹理特征，当前学者们常常假设金属橡胶弹簧微元的受载是成轴向或径向[8]，见图 4d，但这与实际上材料内部微元在几何拓扑关系中的呈一种空间角度随机分布的复杂形式相违[15]。为深入研究更为合理的金属橡胶材料各向异性的本构模型，本文将对金属橡胶有限元模型进行加卸载，观察内部细观的动态演化过程，以获得其内部空间几何拓扑关系及各弹簧微元间的接触现象。

　　1.2.2 金属橡胶内部弹簧微元空间几何拓扑关系

　　结合弹簧理论与卡式定理[16-17]得到仅承受轴向或径向载荷微元弹簧的刚度表达式分别为式中，K1 是轴向微元弹簧的刚度;K2 是经向微元弹簧的刚度;F 为轴向载荷; Fr 为径向载荷; ΔZ 为轴向形变; ΔR 为径向形变;L 为微元弹簧中径，d 为金属丝材料直径，E 为材料弹性模量，r 为泊松比， α 为微元弹簧螺旋角。

　　根据式(5)推算出轴向/径向载荷的弹簧微元的应力与应变关系，如图 5 所示。

　　由图 5 可知，不同载荷方向上螺旋卷微元弹簧所呈现出的应力与应变大相径庭，仅受轴向载荷的微元弹簧由于螺旋卷自身的承载形变，在一定应变下刚度变化幅度较小;而承受径向载荷的微元弹簧在呈现出大刚度现象的同时，径向剪切作用使得刚度随着应变的增大呈现小幅度的增长。然而从图 2 和图 4c 中的纹理可知，金属橡胶形成的弹簧微元在结构中的位置并不是成 90°或 180°，而是具有一定的空间随机性，见图 6。

　　为此，本文在式(5)的基础上引入空间任意角度 ϕ ，即微元弹簧轴线方向与笛卡儿坐标系 Z 轴方向所夹锐角，建立考虑微元的空间分布的微元弹簧刚 度模型为根据式(6)可以得到随着空间分布角度ϕ 的变化，弹簧微元在成形向或非成形向载荷作用下的刚度特性曲线。其中图 7 为弹簧微元在成形向载荷作用下的刚度特性曲线。由图 7 可知，随着分布角度ϕ 的不断增大，刚度呈递增趋势，且非线性递增，这是因为剪切分力增大使得微元所受压缩荷载变小，使得分布角度较大微元体呈现的刚度较大。因此，不同空间分布角度的微元弹簧具有不同的力学性能，这也是造成金属橡胶材料各向异性的一个重要因素。

　　为进一步研究金属橡胶宏观上的本构特性，对虚拟制备而成的金属橡胶几何模型内的微元弹簧按照空间任意角度进行分类，其中分布角度ϕ 分为0～ 30°、30°～60°和 60°～90°这三类，同时为观察这三类角度分布微元在载荷作用下随时间演变情况，对金属橡胶内部微元弹簧单元进行动态提取，实现材料内部的几何拓扑行为的定量追踪，以表征金属橡胶内部的真实弹簧微元分布特征，如图 8 所示。

　　从图 8 可知，成形后的金属橡胶内部微元弹簧分布角度 0～30°占最大比例，这与图 2 中的 SEM 纹理角度基本一致，同时无论是成形向还是非成形向，其冲压成形后的金属橡胶微元弹簧空间几何拓扑结构已经基本定型。从实线表示的成形向可知，在持续加载下(0～4 s)，30°～60°与 60°～90°的弹簧微元数量在变少，呈 0～30°角度逐渐变多，随着卸载过程(4～8 s)又出现了由于弹性回弹的还原现象;而非成形在外载作用后的微元弹簧变化关系则相反，且每种角度占比变化率更大，这是由于金属橡胶在非成形向上的弹簧微元分布结构相对无规则、间隙大所导致的。另外，0～30°与 30°～60°的空间角度所占是主要比例，使得成形向的微元轴向分力大，而非成形向的径向剪切分量更大，在宏观上所体现出非成形向的刚度变大。

　　1.2.3 金属橡胶弹簧微元接触摩擦形态演化规律

　　为探究金属橡胶内部弹簧微元在外力作用下的细观接触演变规律，精确描述金属橡胶弹簧微元间的随机摩擦接触特性，本文采用小球算法与禁忌搜索算法，以微元化后的金属丝段质心为圆心，以接触阈值 Δ 为半径，创建接触小球，通过模型加卸载过程中，各小球间的接触碰撞来判断金属橡胶弹簧微元间的接触点数量。采用超维度空间矩阵存放加卸载中发生碰撞接触的小球空间坐标参数;使用禁忌搜索算法的局部邻域搜索机制和禁忌准则来避免迂回搜索，进而实现弹簧微元间接触点的有效搜索并实时存放线接触数据。

　　其中接触阈值 Δ 的设定(这里选择取阈值 Δ 为 1.1 倍的金属丝直径，即 0.165 mm)对于模型中金属丝微元段的搜索精度至关重要(因为过大的微元划分会降低搜索精度，而过小的微元化分会造成大量重复搜索)，本文中接触小球的半径取接触阈值的 1/2。设模型中金属丝螺旋卷根数为 n，通过搜索 n-1 根金属丝螺旋卷建立解空间集合 S S = {π1, , " π nn } (7) 式中，π 为每一根金属丝螺旋卷的空间微元集合， nn n = −1。

　　通过以解空间集合 S 中的金属丝微元段质点为圆心，根据接触阈值设定半径创建接触小球模型，将每一根金属丝螺旋卷的接触小球分别与空间集合中的其他根金属丝螺旋卷的接触小球进行目标函数的计算，并将每一次计算的目标函数值与设定的接触阈值进行比较，判断小球是否发生了接触，从而得到伪最优值γ ，并放入候选集合内，将搜索完毕的金属丝放入禁忌区间，避免重复搜索从而减少搜索时间。

　　在每一次的迭代更新中将候选集中满足式(10) 的伪最优解存入禁忌列表，进而更新候选集，得到最优解集γ ′ 。通过上述不断迭代更新候选集，排除线接触的干扰，最终得到在某时刻模型的接触点数量。

　　加载后的金属橡胶内部弹簧微元间存在径向挤式中，Di jt , , 为前一时刻接触点的相对位移， ,, 1+ ′ Di jt 为后一时刻接触点的相对位移。

　　弹簧微元接触点运动形态判断标准 D D i jt i jt ,, ,, 1 ′ = + (13) 在每一次接触形态的判断中，若式(13)成立，则接触对为径向挤压;否则接触对为滑移摩擦。

　　至此，在有限元模型基础上，采用小球算法与禁忌搜索算法对金属橡胶内部弹簧微元的细观接触进行了深入探究。通过弹簧微元的接触判定获得了金属橡胶内部的空间接触点动态分布图，如图 9、10、11、12 所示。其中 9、10 为成形向标， , , j j j x y z 分别表示空间几何中备选金属丝螺旋卷中待搜索的小球圆心坐标，jj 为第 k 根接触小球总数。

　　通过每一根金属丝螺旋卷搜索过程中目标函数与接触阈值的比较，将符合条件的伪最优值γ 暂存入候选集中，然后精确定位其接触小球的圆心坐标，以便进一步的接触点的实时更新 Fk ij (π , )≤Δ (9) 将等间距连续序号的伪最优候选点分别与从禁忌区域中重新调出的接触小球进行比较：若不同金属丝间相对应位置的连续接触小球同时满足目标函数，则该范围内的接触被视为线接触压与滑移摩擦两种摩擦状态。为了动态追踪受载过程中金属橡胶内部弹簧微元间的摩擦状态，本文在预估出接触点数量的基础上，利用超维度空间矩阵实时定位存放接触点的空间坐标并进行一系列的动态追踪，即将某一时刻的接触点空间坐标作为一系列三维矩阵存放，将时间变量作为第四维度从而解决金属橡胶弹簧微元间接触点摩擦状态的动态变化过程。

　　通过空间矩阵中相邻时间内接触小球的相对位移来判定弹簧微元间接触点的运动形态所有金属丝与单根弹簧微元的接触点分布图，而 11、12 为非成型向所有金属丝与单根弹簧微元的空间接触分。(a)～(c)为加载阶段，(d)为卸载终止时刻。可知：在初始空间接触状态一致的基础上，同一大小外载作用下，成形向的金属橡胶接触点在 Z 轴方向上发生了空间偏移，接触点数量显著上升;而非成形向的金属橡胶内部接触点在时间序列上呈现出相对稀疏零散的状态分布。特别地是，从图中单根弹簧微元的轨迹路线中可以看出相比于成形向金属橡胶内部致密连续的接触状态，单弹簧微元的空间接触轨迹在非成形向上的分布显得错落无序。

　　由于非成形向的大刚度特性，使得材料在同等荷载作用下较难进一步的挤压作用，接触点数量变化相对较小。为直观分析金属橡胶内部接触点随外载作用后的变化趋势，对接触点进行统计，如图 13 所示。这与图 9、10、11、12 的趋势基本一致。金属橡胶各向异性的力学性能不仅与接触点数有关，还与接触摩擦方式密不可分，通过统计各弹簧微元的接触形式比例，分析其在宏观上的力学特性，见图 14。

　　从图 14 可以清晰地看出，在外载作用下，成形向弹簧微元间的未接触对比例减少，接触滑移对占比在小幅度增加后逐渐降低，卸载后又出现了回增现象;另外成形向的弹簧微元间由于金属丝之间的 “锁死”状态而产生的挤压对比例逐渐增加，并且在卸载后呈现出松弛回弹的现象。于此同时，还可以看出无论在何阶段，成形向金属橡胶弹簧微元间的接触区域摩擦滑移占据着大部分比例，这也是材料在成形方向上由于弹簧微元间的滑移摩擦造成其刚度非线性的重要因素。相比于成形向，非成形向的未接触对比例较高。较多的未接触微元弹簧需通过弹簧微元间的间隙调整来实现抵抗外力作用，同时滑移摩擦对占比呈现大幅度降低，更多的是转化为弹簧微元间叠加作用所引起的互锁挤压情况。这种交错勾连的空间几何拓扑结构，产生了弹簧微元自身径向剪切的大刚度，使得弹簧微元间由于空间干涉约束产生的滑移摩擦现象不显著，极大程度上依赖于材料内部的“锁死挤压”作用，因而使得金属橡胶在非成形向上体现出“大刚度”的本构特性。

　　通过对金属橡胶内部弹簧微元接触方式的研究以及对不同荷载方向下金属橡胶螺旋卷微观运动学行为的首次提出，很好地解释了金属橡胶非成形向本构关系中大刚度与准线性行为。其弹簧微元间的接触模型以及受力分析图如图 15 所示，相较于金属橡胶在成形方向上弹簧微元间的接触方式由未接触 -接触滑移-挤压逐渐演变，在非成形向材料弹簧微元间的运动学行为主要表现为在弹簧微元对接触摩擦比例大幅度降低的同时，通过间隙收拢与弹簧微元间同步交错挤压的细观机理。

　　结合图 15 中的摩擦形态模型，根据金属橡胶内部弹簧微元间不同接触形态变化，引入材料摩擦因数，分别得到未接触、接触滑移以及挤压的微元组等效接触刚度[17]式中，f 为金属丝材料的摩擦因数，ϕ1 、ϕ2 分别为微元对不同载荷方向下的空间分布角度。

　　从式(14)～(16)中可以看出空间分布分别为 ϕ1 、ϕ2 的微元弹簧对在不同接触摩擦状态下产生的等效接触刚度不同。在金属橡胶内部弹簧微元的空间几何拓扑关系中，微元间的空间分布呈现出随机组合的概率分布特点，即不同空间角度分布与不同摩擦形态的复合叠加效应。为此，本文通过不同空间角度微元弹簧与微元组间不同接触形态的随机组合概率叠加，以极大程度上逼近于金属橡胶内部弹簧微元间真实的勾连无序复杂螺旋网状结构。则基于微元弹簧空间组合概率分布的等效刚度表示为式中，n1(ε), n2(ε), n3(ε)分别为金属橡胶内部微元弹簧在形变中的小/中/大角度分布占比; , ( ) ηi j ε 为第 i, j 根微元组合的概率分布， , ( ) 2 i j i j i j nn i j nn i j ⎧ ⋅ = ⎪ = ⎨ ⎪ ⋅⋅ ≠ ⎩ η ε ; ε 为载荷作用方向应变。

　　2 基于虚拟制备的金属橡胶各向异性本构关系

　　在上述研究中，本文探究了金属橡胶在各向荷载作用下内部微元的空间几何拓扑关系以及微元间的动态接触摩擦规律。在此基础上，本文将材料内部各向异性的两项细观结构参数作为重要变量引入，耦合金属橡胶材料形状、相对密度、金属丝直径、螺旋卷螺距、金属丝弹性模量等宏观制备参量，构建金属橡胶各向异性本构关系模型。假设垂直于成形方向的单位面积上有 L(ε)个微元弹簧，在单位长度上有 m(ε)层弹簧，则每一层单位面积的总刚度 () () () 1 2 3 () () () () () () 11 1 ( ) NL N L N L L ijk KKKK ⋅ ⋅ ⋅ == = =+ + ∑∑∑ ′ ′′ ′′′ εε εε ε ε ε εεε (20) 式中， NN N 12 3 (ε ), , (ε ε ) ( ) 分别为未接触微元弹簧对占比，接触滑移微元弹簧对占比与挤压微元弹簧对占比，且 NNN 123 (εεε ) + ( )+ 1 ( ) = 。 假设各层之间的微元弹簧为串联关系[18]，则金属橡胶总等效刚度为金属橡胶本构关系与材料形状参数密切相关，故引入形状因子 C，以探究不同形状参数对金属橡胶本构关系的影响;同时为进一步表征金属橡胶在不同荷载作用下的内部线匝的致密程度以及不同空间区域的滑移/挤压效率，在这项模型中提出了材料局域空间孔隙分布的概念

　　式中，C 为形状因子，C=L/A，L 为金属橡胶高度， A 为金属橡胶垂直于成形方向横截面积; , , ( ) i ii Pxyz ε 为不同方向下金属橡胶内部局域性孔隙分布占比， i l 为线匝轴线长度， , , i ii x y z 分别表示材料内部局部区域空间坐标。联立式(24)～(26)得到

　　至此，通过探究在不同方向载荷作用下金属橡胶内部弹簧微元的分布及接触形式，最终得到金属橡胶各向异性本构关系，其中 KK K ′ ′′ ′′′ ( ), ( ), ( ) ε ε ε 分别为基于材料细观拓扑结构与摩擦机理随机组合概率下的未接触、接触滑移以及挤压状态的微元对等效刚度，是在细观结构中表征金属橡胶材料各向异性特征的重要参量。

　　3 试验验证

　　3.1 样品制备

　　为验证本文所提出的基于虚拟制备技术的金属橡胶各向异性本构模型的准确性，进行不同形状(圆环形/方形)金属橡胶样品的制备，表 1 是制备工艺参数表，其工艺参数与虚拟制备一致，最终获得不同形状的样品，如图 16 所示。从图 16 可以清晰地观察到基于虚拟制备工艺的几何模型，其纹理与实际制品呈现出高度的一致性。同时，无论是环形试件还是方形试件，金属橡胶表面形貌均呈现空间各异的角度分布，其不同的细观结构对材料的宏观力学特征有着重要的影响。

　　3.2 模型验证

　　为进一步验证本文所构建的本构模型，采用准静态压缩试验，在金属橡胶的成形方向与非成形方向上分别施加相同载荷，以探究材料在不同承载方向上的位移-载荷关系曲线。其中准静态压缩变形试验采用 WDW-T200 微机控制电子万能试验机，试验机最大试验力为 200 kN，横梁位移量：0～600 mm，移动速度：0.01～500 mm/min，变形分辨率为 0.001 mm。在这项工作中，试验荷载设置为：金属橡胶成形向/ 非成形向上 200 N 的力载荷，加载速率：2 mm/min，试验设备如图 17 所示。最终不同形状金属橡胶在不同方向加载后的力-位移曲线，见图 18。

　　从图 18 中可以看出，金属橡胶在成形向外载作用时，所表征的本构特征存在着明显的线弹性阶段软特性阶段-指数硬化阶段的复杂非线性演化过程，而非成形向上的本构关系曲线呈现出显著的大刚度与准线性特征。同时金属橡胶的几何形状对材料各向异性的本构力学行为影响较大，方形试件由于材料内部线匝的紧密勾连结构，其各向刚度特性均大于环形金属橡胶。

　　为了避免由于设备测量精度、环境白噪声等因素干扰而造成的试验误差，有效预估这项工作中所提出的模型精度，对结果进行残差分析。残差分析是通过模型的实际值与预测值的差值来评价模型精度的有效手段。在残差分析中模型的有效性是是通过相关指数 R2 进行定量衡量。R2 值越接近 1，模型的预测精度越高，实际变量与预测变量之间的线性相关性越强。

　　式中，RSS 为残差平方和，TSS 为总平方和，n 为数据采样个数， i y 试验观测值， ˆi y 为模型预估值， y 试验观测均值。所研究的金属橡胶样品的残余分析结果如表 2 所示。

　　从图 18 的曲线吻合度与表 2 中的残差值 R2 ，均可以看出无论在成形向还是非成形向上，本文所建的本构模型与试验达到良好的吻合度。因此基于虚拟制备技术的金属橡胶各向异性本构模型能够有效预测金属橡胶在宏观上的力学性能，还可以进一步阐释材料的细观接触行为机理。

　　4 结论

　　本文通过虚拟制备技术准确重塑了金属橡胶这种各向异性材料的内部真实空间几何拓扑结构，在弹簧微元微观尺度的接触摩擦机理探究中，解释了材料各向异性的宏观力学行为特征，并构建了金属橡胶各向异性的本构模型。

　　(1) 通过 SEM 深入分析了金属橡胶弹簧微元结构形貌在不同方向上的分布特点，从细观与宏观尺度上详细讨论了材料在结构上的各向异性与其独特的宏观力学行为间的关系。

　　(2) 对金属橡胶进行基于工艺流程参数的虚拟制备，获得接近真实的有限元模型。提取自适应微元弹簧单元，通过数值重构与动态分解，呈现金属橡胶内部空间几何拓扑关系，以及弹簧微元对在细观尺度上的接触摩擦形式演化。为进一步阐释金属橡胶各向异性的本构关系特征奠定了较好的理论基础。

　　(3) 引入弹簧微元组合概率分布模式，并提出了金属橡胶线匝空间局域性孔隙分布的概念，极大程度表征了材料内部的无序散布现象。将金属橡胶在成形与非成形方向上的空间拓扑结构参量与微观摩擦参量与材料本构方程进行耦合，以构建出包含形状、密度、线径、螺距、金属丝弹性模量等宏观参数和弹簧微元空间分布、接触形态、摩擦因数等微观参数的本构模型，并通过准静态压缩试验验证了模型的合理性。