高等数学与初等数学在数学方法上的差异

　　数学思想和方法是数学科学的灵魂 。对于高等数学学习者而言 ，加 强 对 数 学 思 想 方 法 的 提 炼、 总结和研究，是更好地掌握数学知识 ，提高数学能力的有效途径 。高等数学与初等数学在数学方法上的差异 主要表现在复杂程度和抽象程度上 。

　　《数学年刊A辑》(双月刊)创刊于1980年，是由教育部主管、复旦大学主办的一份面向国内外的综合性的数学刊物。著名数学家苏步青院士任名誉主编、李大潜院士任主编(1999年开始)。

　　一、探讨高 等数学与初等数学在数学方法上差异的意义

　　数学思想和方法是数学科学的灵魂 。对 数 学 思 想方法作出研究，有助于人们领悟数学的本 质 ，提 高 数学素养。特别对于高等数学 学 习者而言 ，加 强 对 数学思想方法的提炼 、总结和研究，是更好地 掌 握 数 学知识，提高 数学能力的有 效 途径 。 鉴 于 高 等 数 学 与初等数学在思想方法 、内容等方面都有差 异 ，如 果 能有意识地去寻找高等数学与初等数学在思 想 方 法 上的差异，学好高等数学的可能性就会大大增加 。

　　二、数学思想方法概述

　　数学是一种思维方式，一种思维规范，一 种 思 维 载体[1]。数学思 想 是 既 以 具 体的数学内容为载体 ， 又高于具体数学内容的一种指导思想和普遍 使 用 的 方法[2]。数学方法是以数学为工具对问题 进 行 科 学 研究的方法，包 括对实际问题的 数 学 化 和数 学 内 部

　　三、高等数学与初等数学的内容和方法

　　(一)初等数学的内容和方法

　　初等数学主 要 包 括 两 部 分 内 容 ：几 何 学 与 代 数 学[3]。且基本都 是 用 常 量 解 答 常 量 问 题 的 ，可 以 认 为初等数学是常量数学 。

　　数学内容是 数 学 方 法 的 载 体 ，这 就 决 定 了 内 容 影响方法。初等数学的方法大致可以划分为 以 下 两大类：

　　(1)数学所独有的方法 。如：比较法、换 元 法、加 减法、待定系数法、拆相补相法等。这些方法 在 初 等数学应用广泛，在处理初等数学问题时作用不可估 量。

　　(2)逻辑学中的方法。如：分析法、综合 法、反 证 法、归 纳 法、穷 举 法 等，这 些 方 法 与 数 学 内 容 相 互 融合、相互渗透，从而演化成数学中处理问题的 重 要 方法。此例中，分析法、综 合 法、归 纳 法 都 各问题的探 讨，用 数 学这种语 言描述事物的 起 因 、发展、变 化 和 结 果，最 后 经 运 算、推 导 等 一 系 列 数 学 过 程，形成诸如解释、判定、预知的方法。

　　数学思 想 与 数 学 方 法 密 不 可 分 ，但 有 所 不 同。 数学思想是数 学 方 法 的 精 神 实 质 和 理 论 基 础 ，数 学 方法则是实施有关数学思想的工具 、方法、技 术 手 段等。可见，数学思想的抽象度 更 高 、理 论 性 更 浓;数 学方法的可操作性和程序性更明显 ，实践性更强。

　　(二)高等数学的内容和方法

　　高等数 学 内 容 丰 富 。 以大学本科数学专业为 例，主要包括：高 等 代 数、常 微 分 方 程、微 积 分、概 率 论以及近世代数、数值分析等。可以这样说，高 等 数 学是研究关系或模式的科学 。高等数学的方 法 继 承 了初等数学 中 的 一 切 方 法 ，并进一步地深化 、发 展， 体现出更高的 抽 象 性 和 概 括 性 ，同时也拓展出一些 新的方法，如：积 分 法、微 分 法、构 造 法、逼 近 法 等。 新的思想方法的出现是处理高等数学中新问 题 的 结

　　答案(ln2)。 其 中 在 第 一 步 的 转 化 包 含 着 多 种 灵 活的思路和方法，其转化结果多样 ，进而直接 影 响 下 一步计算的复杂程度和正确结果的得出 。这 和 初 等 数学中常使用的公式法 、加减法、换元法等解 答 题 目

　　(一)高等数学与初等数学在数学方法上的差异

　　高等数学与 初 等 数 学 有 着 不 同 的 研 究 对 象 ，从 而在思想方法 的 复 杂 程 度 、抽象性等方面存 在 较 大的差异。

　　1.复杂程度

　　因为高等数 学 要 解 决 的 是 更 为 一 般 的 问 题 ，所 以，高等数学 的思想方法比 初 等数学更复杂 。 以 数 学分析为例，求不规则图形的面积 、体积是常 见 的 问 题。对面积 的求解过程一 般 是：分 割—求 和—取 极 限。在分割图形后，有一个取极限的环节 ，随 着 分 割 数次趋 于 无 穷 ，以至于可近似地 把 分割 得到的 小 图 形 在 曲 线 上 的部分视为直的 线 段 。 到 此 ，初 学 者 往 往 陷 入 到 底 是曲线还是直 线 的 矛盾 思 维 中 。 最 后 在 求 极 限 的 过程中往往还 要 涉 及到 数 列 、极 限 等 方 面 的 知 识 。 而 初等数学中求体积或面积 的 问 题 与 解 答 相 对 简 单 得 多 ，主 要 是 规 则 图 形

　　(看 似 不 规 则 的 图 形 ，是 规 则 图 形 经 有 限 次 (最 多 四 次 )的 叠 加 重 合 得 到 的 )的 计 算 ，常 用 的 公 式 包 括 正 方 形 (体 )的 面 积 (体 积 )公 式 ，长 方 形 (体 )的 面 积 (体 积 )公 式 ，圆 (球 )面 积 (体 积 )公 式 等 等 。 计 算 方 法 是 只 须 将 具 体 的 数 据 代入这些基本的 公 式 便 可 得 到 答 案 。 稍难的计算也就是先将一 些 基 本 公 式 进 行 变 形 ，再 进 行 计 算 。

　　2.抽象程度

　　高等数学方法的抽象性明显高于初等 数 学 。 这 不仅决定于高 等 数 学 内 容 的 高 度 抽 象 性 ，也 决 定 于

　　在此例中，求极限的方法得到了充分的 应 用 ，在理论上给我们熟知 π的一个很好的实质性的定义或 现实背景。这不同于初等数学中只要记住它，知道它 表示圆周率、甚 至 是 一 个 具 体 数 字3.1415926，以 便 于使用它。可见，数学的 内容及其方法影响 所 考 虑 问题的抽象性程度。 此 外，在 上 例 (1)和 (2)式 中 适 当地放大和缩小某些等式使得问题变得更加 形 象 直 观，大大简化了问题，有利于问题的进一步 解 答。 这 种方法在解答 高等数学 的问题中经常使用 ，对 于 这 个放大或缩小的“度”的把握已不是初等数学 的 方 法 思想所能比的，其抽象的程度更高 ，创造性的 成 分 更 明显。同时，此 题的解题 过程也反映出其严 密 的 逻 辑性。

　　(二)高 等 数 学 与 初 等 数 学 在 数学方法上的联 系

　　尽管高等数学与初等数学的数学方法在 抽 象 的 深浅度和层次 上 有 一 定 的 差 别 ，但这并不能阻碍它们存在着实质 性 的 联 系 ，尤其在处理问题时这种联 系体现得更为紧密：总是先分析问题的特征，归 纳 出必要的关键 条 件，再 选 择 可 行 的 方 法 处 理 问 题 。 在处理问题的过程中 ，从已有的条件出发 ，沿着 数 学 思 想路线，依据逻辑规则，有顺序有步骤地进行 推 理 和 运算，直至到 达目标形成一个完 整 的 逻 辑 体 系 ——— 完整的问题解答体系 。这样解答问题的策略 在 中 学 和大学都有 不 同 程 度 的 体 现 。 就具体数学方法来 说，初等数学中的方法当然也延续到了高等 数 学 中 。 同时，高等数学 中的不少方法也 可 以 在 初等 数 学 中 找到雏形。例如，在解答下面这个问题时 ，就 采 用 了 高等数学中 用 得 非 常 普 遍 的 一 种 方 法 ———构 造 法，

　　只不过构造的是一个函数 f(x)= 1 。

　　1+x

　　这个问题是：已 知a，b，c 为一三角形的三 边 长，

　　握数学的内容和方法，加深对数学本质的认 识，提 高

　　数学素养。

　　参考文献：

　　[1]欧阳绛.数学方法溯源[M].大 连：大 连 理 工 大 学 出版社，2008：193—202.

　　[2]钱佩玲，邵光华.数学思想方法和 中 学 数 学[M]. 北京：北京师范大学出版社 ，1997.

　　[3]张顺燕.数 学 的 思 想、方 法 和 应 用 [M].北 京：北 京大学出版社，1997：1—3.

　　[4][美]波 利 亚.怎 样 解 题：数 学 教 学 法 的 新 面 貌

　　[M].涂泓，冯承天，译.上海：上 海 科 技 教 育 出 版 社，2002：120.

　　[M].北京：高等教育出版社，2001.

　　综上所述，高 等数学与初等数 学 在 内 容 和 方 法

　　上存在许多差 异，但这些差异仅 仅 或 局 限于 形 式 或 内容上的深度和广度 。深入学习和探讨基本 的 数 学 思想方法，有利于高等数学学习者整体地 、统 一 地 把

　　[6]陈纪修，於崇华.数学分析(上册)(第 2 版)[M]. 北京：高等教育出版社 ，2004.