基于空频域MIMO波形优化的雷达通信共享系统设计

　　摘要：本文提出了一种基于空频域波形设计的雷达通信共享系统：即对 MIMO 发射波形在空域和频域进行优化，利用优化的发射方向图主瓣实现对目标区域的雷达探测，通过控制通信方位的发射方向图旁瓣水平以及通信频带上的功率谱密度水平来实现通信信息传输。为此，在方向图旁瓣电平、波形功率谱水平、波形恒模等约束下，以发射方向图的匹配误差为目标函数，建立了相应的波形优化问题，并采用半正定松弛方法和高斯随机化方法来求解该问题。文中给出了通信信息的解调过程，且分别验证了雷达和通信性能。

　　关键词：波形设计;发射方向图;功率谱密度;雷达通信一体化;半正定松弛; 半正定规划

　　屈思宇; 洪升; 赵志欣; 叶延恒， 现代雷达 发表时间：2021-11-26

　　0 引言

　　近年来，随着电磁频谱机动作战理念兴起，雷达和通信系统对带宽和频谱资源的需求越来越高，使得现有雷达与无线通信系统的共存变得越来越[1] 迫切。雷达通信一体化的目的在于实现频谱资源一体化管理和运用、雷达通信系统协同工作[1-2]。在文献[3-6]中已提出将通信作为雷达的第二功能。其中，文献[3]在雷达脉冲中嵌入了隐蔽通信信号;尽管该方法实现了雷达通信系统共享，但在一定程度上会降低雷达性能。文献[4]中提出了一种使用时间调制阵列(Time-Modulated Array，TMA)来实现雷达通信共享的方法。在使用时间调制发射阵列保证主瓣发射功率的同时，对通信方向的旁瓣电平水平 (Sidelobe Levels，SLLs)进行调制，以保证雷达通信功能共享。然而，使用时调阵列设计形成具有相同主瓣的多个发射方向图相对来说较为困难，因其涉及高维度非线性优化问题，会导致对计算量要求过大。在文献[5]中，作者提出了一种在 MIMO 模式中进行联合雷达通信的技术，通过优化发射加权矢量，控制发射方向图的旁瓣实现信息嵌入。由于该方法仅优化加权矢量，未优化发射波形，方向图控制自由度受限;并存在发射波形峰均比较高的问题。

　　本文提出了 一种通过在 空域和频域 设计 MIMO 雷达波形以实现雷达通信功能共享的新方法。通过设计 MIMO 雷达波形，使得实际发射方向图逼近期望发射方向图以确保雷达的有效探测。在实现通信功能方面，将对通信方向上发射空域方向图的旁瓣电平以及通信频带上频谱功率的控制作为约束条件从而实现通信信息的传输。在通信接收端，接收器根据在通信角度的方向图和通信频带上的频谱功率水平，来解调出通信信息“0”或“1”。为实现对发射方向图的空域控制和频谱功率的频域控制，建立了相应的波形优化问题。进一步地，为求解该优化问题，首先将波形的恒模约束转化为秩为 1 的约束;然后利用半定松弛(Semidefinite Relax, SDR)方法[7]将优化问题转化为半定规划(Semidefinite Program, SDP)问题[8]，利用凸优化工具箱进行求解;最后，利用高斯随机化特征分解 [9]来恢复出波形序列。此外，本文给出了具体的通信信息解调过程，仿真结果从发射方向图对期望方向图的逼进程度验证了雷达性能，根据通信星座图和误码率评估了通信性能，从而验证了所提方法的有效性。

　　1 基于雷达通信共享的波形设计

　　本文提出的雷达通信共享方案的主要思想是在不影响雷达探测性能的情况下将通信信息嵌入到空域发射方向图和频域功率谱中。因此，一方面，需要确保发射方向图与期望的雷达方向图相匹配。另一方面，为了实现通信信息的嵌入，需要控制通信方向上发射方向图的旁瓣水平和通信频带上的频谱功率水平。

　　1.1 基于雷达功能的波形设计

　　假设 MIMO 雷达中发射阵列为包含 M 个天线的均匀线阵，阵元间距为 d /   2 ，表示发射波长。假定第 m 个发射波形为 ( ) m s n ， m M 1,2,..., ， n N  1,2,..., ，N 为每个发射脉冲的采样数，则发射波形矩阵可表示为 1 2 , ,...,  T M N M C  S s s s   。基于发射波形 S ，MIMO 雷达发射方向图可表示为: 1 ( )= ( ) ( )) H H P N    a SS a (1) 其中 2 sin( ) 2 (M 1) sin( ) ( ) 1, ,..., T d d j j e e               a 为发射导向矢量，. , .    T H 表示转置和共轭转置。为了实现雷达对目标区域的有效探测，将期望的雷达发射方向图描述为： 1, 0, m d s P       (2) 其中m 为目标分布区域，即方向图的主瓣区域;s 为方向图的旁瓣区域。为实现有效目标探测，需要将发射能量集中在目标区域;而将非目标区域的能量最大程度地降低。为此，需要尽可能地降低发射方向图的旁瓣水平。

　　为了实现期望方向图，对 MIMO 发射波形进行优化，使得到的发射方向图逼近雷达期望方向图 [10]。这里，利用二者的匹配误差作为衡量雷达性能的指标，该匹配误差可表示为 2 1 1 ( ) ( ) ( ) L H H s d l l l l E P N       a SS a (3) 其中 l 是整个空间 [ , ] 2 2   的 L 个离散角度点，为尺度因子。以 MIMO 发射波形为优化变量，以匹配误差为目标函数，以发射波形的恒模特性和功率大小为约束[11]，可以建立以下优化模型： 2 , 1 1 min ( ) ( ) ( ) L H H d l l l l P  N      S a SS a (4a)s.t. diag( ) / H SS  E M (4b) S( , ) / m n E MN  (4c) 其中 E 代表发射信号的总功率， diag( ) A 表示取矩阵 A 的对角线元素，目标函数为综合方向图与期望方向图之间的匹配误差，第一个约束条件表示限制每个发射阵元的功率，第二个约束条件为发射波形的恒模约束。

　　波形矩阵 S 的优化问题(4)是一个非凸问题，为了利用凸优化工具箱进行高效求解，这里对目标函数和约束进行变换，以便将问题(4)转换为凸问题。具体地，MIMO 雷达发射方向图可等效表示为 H ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) vec( ( ) ) vec( ( ) ) ( ( )vec( )) ( ( )vec( )) vec( ) ( ) ( )vec( ) ( ( ) ( )) ( ) tr( ( ) ) H H H H H H H H N N H H N N H H N H P                  a Ra a SS a a S a S I a S I a S S I a I a S x I a a x x V x V X (5) 其中 x S  vec( ) ， H X xx  ， ( ) ( ( ) ( )) H V I a a     N 式 (5) 的推导利用了矩阵运算等式 vec( ) ( )vec( ) T ABC C A B  和 ( )( ) ( ) ( ) A B C D AC BD     。 vec( ) A 表示将矩阵 A 拉直为列向量。将式(5)代入到问题(4)中，问题(4)可重新表示为 2 , 1 min ( ) tr( ( ) ) L d l l l P     X V X (6a) s.t. diag( ) / X  E MN (6b) rank( ) 1 X  (6c) X  0 (6d) 经过变换，优化变量从 S 变化为 X 。问题(6)中的第一个约束(6b)等效于问题(4)中的总功率约束 (4b)，第二个约束(6c)等效于问题(4)中的恒模约束 (4c)，第三个约束(6d)保证变量矩阵 X 为半正定矩阵。通过约束的等效变换，波形 S 的横模约束转换成了矩阵 X 的秩 1 约束。变换后，除了非凸约束 (6d)，问题(6)成为一个半正定规划 SDP 问题。

　　1.2 基于通信功能的波形设计

　　在保证雷达功能的基础上，本文利用发射波形对通信信息进行调制。具体地，将通信信息调制在发射方向图旁瓣和波形的频谱上，以通信角度的发射方向图旁瓣水平和通信频带上的功率谱水平来判定传输何种通信信息。

　　1.2.1 发射方向图旁瓣水平控制

　　本文提出在通信方向上的发射方向图旁瓣处形成一个零陷。通信接收器将在该方向检测信息;如果不存在零陷，则可以将发送的信息位检测为 “1”，否则，可以将发送的信息位检测为“0”。为了实现此目的，将通信方向 c 上的发射方向图的功率[12]限制为小于一个较小的门限值 EP ，可以写成 P( ) ( ) ( ) H H    c c c P   a SS a E (7) 利用式(5)的化简方法，约束(7)可等效化简为 P( ) tr( ( ) )   c c P   V X E (8)

　　1.2.2 频谱功率水平控制

　　为进一步提高通信速率，进一步在发射波形功率谱密度上通信频带处的形成一个频域零陷。通信接收器将在通信频率处检测信息。如果不存在零陷，则可以将发送的信息位检测为“1”，否则，可以将发送的信息位检测为“0”。为了实现此目的，将通信频带  c  f f 1 2 , 上的功率限制为小于一个较小的门限值 EJ 。基于离散傅里叶变换，第 m 个阵元发射信号的功率谱密度[13] 为 2 1 2 0 ( ) ( )e N j fn m m n S f s n   (9) 第 m 个阵元的发射信号在频带  c  f f 1 2 , 上的发射功率为 2 1 ( ) f H m m J m f S f df   s R s (10) 其中 2 1   2 1 2 2 ( ) 2 ( ) ( , ) ( , ) 1,..., 2 ( ) j p q f j p q f J f f p q p q p q N e e p q j p q            R (11) M 个阵元发射信号在频带  c  f f 1 2 , 上的总发射功率为 1 M H m J m ms R s 。将通信频带上的功率限制为小于一个较小的门限值 EJ ，可表述为 1 M H m J m J m E s R s  (12) 利用式(5)的化简方法，约束(12)可等效化简为 1 tr( ) M H m J m J J m E s R s R X   (13) 其中 R R I J J M   。

　　为在传统雷达功能基础上加上通信功能，在式 (6)优化模型中，添加式(8)和式(13)作为约束，可以得到联合优化模型为 2 , 1 min ( ) tr( ( ) ) L d l l l P     X V X (14a) s.t. diag( ) E MN X  (14b)rank( ) 1 X  (14c) X  0 (14d) tr( ( ) ) V X c p  E (14e) tr( ) R XJ J  E (14f) 由于秩为 1 约束条件会导致问题(14)为非凸问题。这里采用半定松弛(SDR)方法, 放松秩为 1 的非凸约束条件，然后将问题(14)改写为 2 , 1 min ( ) tr( ( ) ) L d l l l P     X V X (15a) s.t. diag( ) E MN X  (15b) X  0 (15c) tr( ( ) ) V X c p  E (15d) tr( ) R XJ J  E (15e) 问题(15)是一个凸问题，可利用 CVX 工具箱 [14]进行求解。通过求解问题(15)，可获得最优协方差矩阵 X 。然后必须从 X 中恢复出波形矢量 x ，然后通过反拉直处理从 x 恢复出最优的发射波形矩阵 S 。但是，由于实际获得的矩阵 X 的秩通常大于 1，不能通过特征分解直接得到波形矢量 x 。于是，考虑使用高斯随机化方法来获得波形矢量 x 。高斯随机化方法的步骤为：首先，随机产生 K 个随机向量 1 2 , ,..., x x xK ，且 K x 服从均值为 0 方差为 X 的复高斯正态分布;然后，对每一个向量 K x 计算代价函数即 2 , 1,2,..., H k k k  k K    X x x (16) 最后，选取使k 最小所对应的随机向量 k x 作为波形矢量，用来恢复波形矩阵 S 。

　　2 通信信息的调制与解调

　　2.1 通信信息的调制

　　假设在每个雷达脉冲内，由“1”和“0”组成的 2Q 位 信 息 表 示 为 二 进 制 序 列 B B q q 2 1 。 令 1 ( ) [ ( ),..., ( )] Q    t t t 为发射正交波形的矢量，其中 t 表示快时间指数。码元 B q1 表示在通信方向上发射方向图旁瓣水平情况;码元 B q 2 表示在通信频带上频谱功率水平情况。

　　2.1.1 空域调制

　　假设空域通信方向为 c ，通过判断在 c 处的发射方向图形成零陷的情况，来传输二进制码元 B q1。码元 B q1 嵌入表达式为 q1 q1 q1 (1 )tr( ( ) ) (1 ) '0' or '1' B B E B c P     V X  (17) 当 1 0 B q 时，在通信角度 c 处形成一个大小为 EP 的零陷;当 1 1 B q 时，在通信角度 c 处没有零陷产生。

　　2.1.2 频域调制

　　假设通信频带范围为  c  f f 1 2 , ，通过判断在  c  f f 1 2 , 处的功率形成零陷的情况，来传输二进制码元 B q 2 。码元 B q 2 嵌入表达式为 q2 q2 q2 (1 )tr( ) (1 ) '0' or '1'     B B E B R XJ J (18) 当 2 0 B q 时，在通信频带  c  f f 1 2 , 处形成一个大小为 EJ 的零陷;当 2 1 B q 时，在通信频带  c  f f 1 2 , 处没有零陷产生。

　　2.2 通信信息的解调

　　通信接收端所接收的信号为  2 ( ) ( ) d j f t m y t s t e z t     (19) 其中为信号的时延， d f 为信号的多普勒频移， zt() 为信号的加性高斯噪声。接收端信号的解调流程如图1所示。首先，对接收信号进行时延补偿和多普勒频移补偿;然后，分别计算发射方向图和功率谱密度;最后，在通信方向和通信频带处进行信息解调。

　　2.2.1 时延估计和补偿

　　本文采用频域补偿法[15]，对接收信号进行匹配滤波，估计回波时延 ˆ ，然后在频域补偿时延，时延补偿系统中的具体补偿模型如图2所示。为防止宽带信号发生畸变，要求时延补偿系统的时延必须为常数，与频率不相关，时延补偿系统的传递函数为 ˆ ( ) jw jw H e e m  (20) 图2 时延补偿模型接收信号经过时延补偿后得到  ' 2 ( ) ( ) d j f t m m y t s t e z t      (21) 其中，      ˆ 表示时延补偿残余，理想情况下，可认为   0 。 2.2.2 多普勒频移估计和补偿可利用FFT估计雷达多普勒频率[16]，即对接收信号进行离散傅里叶变换，利用最大谱线位置求出多普勒频移 ˆ d f 为   ' ' 1 Im( ) ˆ [ ] ( 1) Re( ) T m T d s s m T k Y k f arctan NT N T  Y k    (22) 其中 T k 为最大谱线位置， T s 为采样周期， N 为采样点， ' Y m 为接收信号 ' m y 的傅里叶变换。接收端估计得到最大多普勒频率偏移值后，反馈多普勒估计值到信号，以补偿信号的多普勒。通常的补偿策略是使用估计值在时域中进行补偿。

　　假设准确估计得到最大多普勒频移为 ˆ d f ，令 ˆ 2 ( ) d j f t d t e ，对式(21)进行多普勒补偿，可得  ' ' ' 2 2 ( ) ( ) [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) d d m m j f t m j f t m d y t y t d t s t e z t d t s t e z t          (23) 其中 ˆ d d d    f f f 表示多普勒补偿残余，理想情况下，可认为  f d 0 ; () d z t 是补偿后的噪声分量，具体的多普勒补偿模型为图3所示。图3 多普勒频移补偿模型

　　2.2.3 空域解调

　　对式(23)中补偿后的接收信号 ' ' m y 进行时域采样，假设共有 N 个采样值，可得到第 m 个天线发射的信号序列 ' ' ' ' ' ' [ (0), (1), , ( 1)]T m m m m y   y y y N 。因此 M 个 阵 元 对 应 的 发 射 信 号 矩 阵 为 1 2 [ , , , ]T Y y y y  M 。利用补偿得到的发射信号矩阵 Y ，可恢复得到发射方向图为： 1 ( ) ( ) ( ) H H P N      a YY a (24) 根据式(24)，可计算在通信角度上的方向图功率水平，即 ( ) P c    (25) 然后，通过门限检测可得 ~ 1 1 1 1, if 0, if q T B T       (26) 其中 T1 是设定的检测门限值。 2.2.4 频域解调对于处理后的接收信号，计算其功率谱密度。接收信号在通信频带  c  f f 1 2 , 上的功率可表示为 2 1 2 1 ' ' 2 1 0 ( )e M N f j fn m f m n y n df      (27) 然后，通过门限检测可得 ~ 2 2 2 1, if 0, if q T B T       (28) 其中 T2 是设定的检测门限值。

　　3 实验仿真

　　假设发射天线为 M 10 个天线组成的间隔为半个波长的均匀线性阵列。每个阵元发射波形码长为 N 16 ，每个阵元发射信号的中心频率为 0 f  5GHz ，信号带宽为 B 10MHz ，雷达总发射功率 E 1 。假设整个空域为      90 ,90 ，感兴趣目标空域为     m  20 ,20 ，旁瓣空域为         s  90 , 20 20 ,90   ，空间的离散点间隔为 1 。

　　假设通信方位在 46 c  处，通信频带为归一化频带  c 0.4,0.6;并设置发射方向图在通信角度的零陷深度为 40 E dB P  ，在通信频带内设置零陷深度 30 E dB J  。通过本文方法优化得到的发射波形所对应的归一化发射方向图如图4所示。图中红色带星号标记的实线所对应的优化方向图代表着模式1，即传递的是通信码“1”;蓝色带圆圈标记的实线所对应的优化方向图代表着模式2，即传递的通信码“0”。通过选择发射模式1对应的波形即可传输“1”码元;通过选择发射模式2对应的波形即可传输“0”码元。模式1中，在通信方位 c 的方向图功率水平为-20.30dB。模式2中，在通信方位 c 处形成了发射方向图零陷，零陷深度为-46.66dB。这验证了本文优化方法的有效性;同时也表明了，通过零陷控制，可将通信信息嵌入到MIMO雷达波形中。图4优化得到的两种发射方向图在主瓣区域基本类似，这表明，旁瓣零陷传递通信信息的方式，对目标区域的雷达探测性能基本没有影响。

　　求出优化得到的两种波形的功率谱分布图，如图 5 所示。图中，红色带星号标记的实线所对应的波形功率谱代表着模式 1，即传递的是通信码“1”;蓝色带圆圈标记的实线所对应的波形功率谱代表着模式 2，即传递的是通信码“0”。模式 1 中，在通信频带 c 位置的功率谱水平为-5.97dB。模式 2 中，在通信频带 c 位置形成了零陷，零陷深度为28.20dB。验证了本文算法的有效性，同时，表明，可以通过频域零陷控制，将通信信息嵌入在雷达波形中。与此同时，在通信频带的频域零陷形成也大大降低了传统通信信号对雷达系统的干扰。图6(a) 理想情况下数据接收星座图图 6(b) 实际情况下数据接收星座图对于理想和非理想两种情况下的通信星座图如图 6 所示。理想情况为：假设信号的时延和多普勒补偿理想，不存在补偿残余。非理想情况为：假设信号的时延和多普勒补偿不理想，存在补偿残余。非理想情况下假设时延补偿误差 3  5 10 μs    为 1/10 脉 冲 周 期 ; 多 普 勒 补 偿 误 差 的 频 率 为f B d =0.2 。图 6(a)给出了理想情况下的星座图;图 6(b)给出了实际情况下的星座图。图中，对于发送的“00”，“01”，“10”和“11”四种类型的码元，黑点表示传输前的码元信息，虚线表示检测阈值。将每种码元解调后的结果用绿点表示，每种码元情况进行了 50 次随机仿真处理。由图可知，本文所提方法可较好地对通信数据进行解调。

　　对于理想和非理想两种情况下的通信星座图如图 6 所示。理想情况为：假设信号的时延和多普勒补偿理想，不存在补偿残余。非理想情况为：假设信号的时延和多普勒补偿不理想，存在补偿残余。非理想情况下假设时延补偿误差 3  5 10 μs    为 1/10 脉 冲 周 期 ; 多 普 勒 补 偿 误 差 的 频 率 为f B d =0.2 。图 6(a)给出了理想情况下的星座图;图基于所建立的雷达通信共享系统，对通信功能的误码率特性进行分析。通过传输 5 10 个符号(每个 2 位)对通信误码率进行测试。考虑两种情况：理想情况和非理想情况。得到两种情况下，误码率与信噪比的关系曲线如图 7 所示。图中，红色带星号标记的实线所对应着非理想情况的误码率曲线;蓝色带圆圈标记的实线所对应着理想情况的误码率曲线。由图可知，通信的误码率随着信噪比的增加而降低。理想情况下的误码率低于非理想情况的误码率。即使在非理想情况下，系统的通信误码率也可达到 4 2 10;表明即使在非理想情况下，系统也能以较小的误码率进行通信数据传递。

　　4 结论

　　本文提出一种基于空频域波形设计的雷达通信共享系统新方法。为了实现通信信息的嵌入，对通信方位发射方向图的旁瓣水平和通信频带功率谱密度水平进行控制。具体而言，接收器根据在通信角度的方向图和通信频带上的频谱功率水平，将与某个波形相关的位解调为“0”或“1”。为实现该目的，本文对发射波形进行了优化，采用凸优化方法对优化问题进行求解。仿真表明，所提方法在保证雷达功能的同时，在雷达波形中实现了通信信息的嵌入。通过对误码率和通信星座图性能的仿真分析，验证了系统通信性能。