机械臂轨迹跟踪优化控制

1引言

滑模变结构控制方法比较适合于机械臂的控制。这主要是因为滑模变结构控制对一类有外界干扰和参数变化具备某种不变性，或称完全鲁棒性，这对于机械臂的控制非常有利，它可以削弱由于负载变化或随机干扰对系统控制性能的影响。但是，滑模控制作为一种不连续的控制方法，不可避免地会引起系统的“抖振”问题。抖振及其削弱问题是研究变结构控制的主要内容之一，因为一方面它将引起稳态误差，从而大大影响变结构系统的品质;另一方面它不停地消耗系统的能量，并可能激发系统的振荡［1］。趋近律方法是消除抖振最为有效的方法。采用趋近律设计方法能够有效地减弱滑模控制中的抖振问题［2］。本文在对机械臂的动力学特性和常用的指数趋近律的优点及缺点进行深入分析的基础上，利用饱和函数连续变化的特点，设计了一种新型改进趋近律，并给出了基于改进趋近律的机械臂滑模控制策略，以克服指数趋近律造成的系统在由切换带向原点运动时，不能趋近于原点而是趋近于原点附近抖振的缺点，同时保证了机械臂控制的快速跟踪性能。通过仿真比较表明:新的趋近律具备更好的趋近特性和收敛特性。

2机械臂的数学模型

建立机械臂的动态数学模型，通常采用以下两种方法［3］:①牛顿一欧拉方程，对于多关节的机械臂来讲，利用这种方法建立数学模型的关键是处理好各关节驱动力和各关节连杆位移之间的相互耦合关系，但是关节较多时，处理这种关系非常不容易。②拉格朗日动力学方程，该方程为能量的平衡方程，其更适合于分析相互约束下的多个连杆运动。基于拉格朗日运动学建立的n关节机械臂的动态方程为［4］:M(q)¨q+C(q，q)q+G(q)=u(t)+f(t)(1)式中q，q，¨q∈Rn分别为位置矢量、速度矢量和加速度矢量;M(q)∈Rn×n为正定惯性矩阵;C(q，q)∈Rn×n为离心力和哥氏力矩阵;G(q)∈Rn为作用在关节上的重力项矢量;u∈Rn为关节控制力矩;f∈Rn是外部扰动信号，具体包括建模误差，参数变化以及其他不确定因素。上述机械臂动力学方程具有以下两个特性:1)M(q)为对称正定矩阵;2)M－2V为斜对称矩阵;此两个特性保证了机械臂系统的可控性和渐近稳定性。

3趋近律设计

在滑模控制系统中，系统的运动可分为两个阶段，分别为趋近运动阶段和滑模运动阶段。系统从任意初始状态趋向切换面，直到到达切换面的运动称为趋近运动，即趋近运动为s→0的过程［5］。根据滑模控制原理，滑模可达性条件仅保证由状态空间任意位置运动点在有限时间内到达切换面的要求，而对于趋近运动的具体轨迹未作任何限制，采用趋近律的方法可以改善趋近运动的动态品质。指数趋近律是一种常用的趋近律，表示如下［6］:s=－εsgn(s)－ksε＞0，k＞0(2)采用指数趋近律一方面可以缩短趋近时间，另一方面可使运动点到达切换面时的速度很小，改善系统正常运动阶段的动态品质，但是指数趋近律的切换带为带状，系统在切换带中向原点运动时，不能趋近于原点，而是趋近于原点附近的一个抖振，此高频抖振增加了控制器的负担，为此本文考虑对指数趋近律进行如下改进:s=－εs2sgn(s)－ks(3)引入s2的原因具体分析如下，当在开始阶段，由于误差比较大，所以s2也比较大，此时的趋近速度较快，随着控制器对系统误差的调节，系统的误差将会逐渐变小，此时系统逐渐趋于平衡，则s2变小，在平衡位置系统的抖动也将变小。但是式(3)对系统抖振的改善有限，只要控制器中含有符号函数sgn(s)，控制输出就不可避免地会产生抖振现象。饱和函数可有效抑制抖振，使输出平滑有界。因此本文考虑采用饱和函数中的双曲正切函数来代替符号函数进行趋近律的设计，双曲正切函数具体表达式如下:饱和函数法实质上是用饱和特性取代原有的继电特性［7］，目的是缓解切换的不连续性。图1是符号函数和双曲正切函数的比较曲线，从图中可以看出，双曲正切函数使得切换过程变得连续而又平滑，这对于抑制趋近运动过程的抖振具有重要作用。在趋近律的设计中引入双曲正切函数，具体表示为:s=－εs2tanh(s)－ksε＞0，k＞0ss=－εss2tanh(s)－ks2＜0(5)式(5)满足滑模到达条件。双曲正切函数的引入在抑制抖震的同时，会降低系统的跟踪性能，为了尽可能地保证系统的快速跟踪性，可以在系统满足一定条件的前提下，增大式(5)趋近律中的k并相应地减小ε。该趋近律既克服了指数趋近律方法中滑模运动切换带为带状的缺点，又保证了趋近过程的快速性，并且当接近滑模面时，该趋近律速度接近为零，有效地减小了进入滑模面的初始系统抖振。此时趋近律让状态变量不断趋向原点，穿越滑模面的幅度不断变化，抖振幅值不断减小，系统进入稳态后，稳定于原点，抖振现象消失，解决了滑模控制固有的抖振问题。

4控制律设计

机械臂滑模控制系统的结构设计如下图2所示。

4．1滑模面设计

取机械臂关节角位置的期望值qd为指令，e=qd－q为误差信号，设计滑模面为［8］:s=e+Ce，C=diag(c1，…，cn)，ci＞0(6)对于式(6)，当系统到达滑模面后，对给定的任意初始状态e(0)，系统将稳定并在有限时间内到达平衡点。此外，通过设计常数矩阵C，可使控制系统具有较好的动态品质［9］。

4．2控制律设计

以n关节机械臂为控制对象，不考虑建模误差和外部扰动，则系统的名义模型为［10］:

5系统仿真

为了验证控制算法的正确性和性能，本文选取了某二关节机械臂作为控制对象，进行了相关仿真研究。仿真利用Matlab7．1中的Simulink进行。由于机械臂的数学模型及控制律较为复杂，因此在仿真中使用了S－函数，分别对其动力学模型模块和控制律模块进行设计。其仿真流程如图3所示。本文提出的滑模变结构控制方法的控制效果又与滑模面的设计及趋近律的参数选择密切相关。为解决这个问题，可以考虑引入模糊规则、神经网络学习等算法等工具来进行参数寻优，以进一步提高滑模控制的效果。

6结束语

本文在传统滑模变结构控制趋近律的基础上，利用饱和函数连续变化的特点，提出一种改进的趋近律，基于改进趋近律设计了相应的机械臂滑模控制策略，并进行了仿真比较，对其控制效果进行了相关的验证。滑模控制由于其对有界干扰和参数变化具有不敏感性，使得其可以应用到机械臂的控制系统中。仿真结果表明:根据改进的趋近律设计的滑模控制策略具有很好的收敛性和抗干扰性能，该方法具有一定的使用价值。