日本的计算机数学研究及理论

1996年8月，参加了日本神户召开的第2届亚洲计算机数学研讨会。东道主神户大学对来自中国的四位代表给予了很好的安排。下面主要谈谈日本在计算机数学领域的研究现状。

计算机数学研究，是利用计算机进行数学计算和证明的理论与算法，或者说探讨数学机械化的方法与范围，使之在数学和计算机科学都得到发展的新领域。70年代我国以吴文俊院士的几何定理机器证明(即“吴方法，’)研究成果为标志，经过十几年的发展，现已是整体上处于国际领先水平的领域之一。日本韩国近年来开展了这方面的研究。亚洲计算机数学研讨会就是在这样的背景下由三国的专家共同组织召开的(首届会议于1995年在北京召开)。

日本是开展计算机数学研究较为活跃的国家之一，特别是在符号计算方面早期追随Groebner基做了一批有关多项式和理想论方面的工作。以后的研究主流渐渐趋向于实用化，已形成自己的风格。日本的代数几何有很好的传统，对计算机数学研究也有一定的影响。这次会议反映出一些人就是把计算机数学用于计算代数问题，研究的重点是代数曲线的量化指标的计算，试图通过计算机的介入能够有一个更好地理解代数曲线的工具。例如通过黎曼一罗赫定理来进行代数曲线一系列性质的计算，其中就涉及到许多复杂代数对象的表示和计算问题，这是十分困难的，也是十分有趣的。日本学者在这次会上，展示了许多用计算机绘制的各式各样的代数曲线，既反映了这方面的成就，也反映了重视实际的研究风格。

理论上讨论清楚的东西，总是要想方设法把它做出来;有时是先做出实际的东西来，再进行理论探讨。另外还有一些基本算法问题的探讨，比如最大公因子算法、多项式分解算法等，也占相当的份量。

相比代数几何问题的计算，这方面的内容尽管有不少新意，但多少给人以技术性多于创造性的感觉。

值得提到的是，由于受高技术需求的驱动，一些日本学者在符号计算发展的初期已经考虑到把它应用到与高技术研究或高技术产业相关的科学计算中去，试图解决一些用数值计算难以解决的问题。一些有眼光的大公司也注意到这一领域潜在的经济效益，出资支持这方面的研究。在这种情况下，日本学者较早遇到符号计算精度高、速度慢的矛盾。因此，他们把符号计算与数值计算结合起来，取各自的优点，或者牺牲局部一些精度来提高计算的效率，从而发展出一种新的计算方法，即所谓近似符号计算或混合计算。

(实际上，比这更早一些，吴文俊院士在几何定理证明中提出的算法已经包含这种概念)。这一方法在一些具体的场合找到了很好的应用，例如在高能问题的计算中。日本这方面的研究比较热。有些日本学者猜想，对于任何具体的符号计算问题，都有一个充分小的数，当计算误差小于这个数时，可以得到精确的计算结果。在这次会议上，一篇关于判断多项式在代数数赋值下是否为零的报告是对这一猜想的支持。

实际上，有很多迹象表明这一猜想很可能在理论上是成立的，而是否有普遍的实用性却颇有疑问，但无论如何，近似符号计算是当前注意的研究课题。

印象比较深的还有一点，就是日本的各研究小组都有自己开发的软件。这些软件各有特色，例如筑波大学、日本大学、富士通公司、神户大学等都有结合自己研究工作的软件，其中确有极为优秀的作品。这自然反映了日本学者做研究工作的风格，大家做的软件互相交流，以便提高软件的质量。而且，日本的研究人员可以得到一流的硬件开发环境以及将功能强大的计算机作为软件运行的支撑，有些工作甚至是在阵列计算机上进行的。这似乎存在一个问题:

如果在软件制作的概念上没有突破，这样重复做软件是否必要?现在市场上销售的主要商品符号计算软件就没有日本开发的，这种反差确是一个有趣的现象。也许不久的将来，我们可以在市场上看到好的日本符号计算软件。不过有些日本学者认为，由于符号计算的复杂性和应用的专业性，不可能有真正意义上的通用符号计算软件，除非用于学习和教育的目的。这种看法似乎有一定的道理，但究竟如何，还要看看今后的光景。