高数课程教学启示

高等数学作为高等学校一门重要的基础学科、一门各学科都要使用的精确的科学语言,对学生后继课程的学习及思维素质的培养起着重要的作用[1]。但由于高等数学十分抽象,长期以来对于该课程的学习,学生普遍感到非常困难。数学教育的重点是要培养学生用数学的理论方法解决实际问题的能力,但传统的教学模式比较注重理论性的学习,缺乏实践的动手操作能力的训练,无法让学生学到的数学理论和方法用于实际的问题中,甚至不知道这些理论有什么用。

Mathematica是一种数学分析型的软件,以符号计算见长,也具有高精度的数值计算功能和强大的图形功能。

它将计算、可视化、程序设计融合到一个简单易用的交互式工作环境中。据wolfram公司声称,仅在美国就有十几万人在使用该软件解决、研究和计算工程等领域的大量问题。

为了提高学生学习数学的积极性、实践能力和创新能力,开设数学实验就显得非常有必要,而Mathematica是数学实验最常用的软件之一。

1　Mathematica在高等数学课程教学中的应用

Mathematica软件功能齐全、输入简洁、运算快、精度高,是机械工业部推荐的工程应用软件。在高等数学的教学中借助Mathematica软件有助于学生更加直观地理解高等数学中的抽象概念、空间几何图形,并且有助于学生在今后工程设计、生产管理、经济金融中解决计算问题。

基于Mathematica软件的高等数学实验课的开设,可以培养学生的实践能力和创新能力,基于Mathematica的基本操作,可以帮助学生在实践的基础上进行创新。

1.1符号运算的应用

计算函数的极限、一元和多元函数的微积分、不定积分、傅立叶级数等是高等数学的重要内容,但在这以前,计算机只能作数值计算,不能作符号运算。

第一,高等数学中的许多概念、定理之间存在着本质的联系,通过这些概念、定理的实际应用,可以加深对知识的理解。

例如,导数的应用方面,我们常用来判断一个函数的单调性和凹凸性。而借助Mathematica软件的符号运算,我们通过几条简单的命令就能够实现判断函数单调性和凹凸性,使学生理解、掌握数学理论的同时,又能简单、迅速地计算出复杂的数学运算结果。

例1　判断函数y=2x3-6x2-18x+7的单调区间和凹凸区间。

我们知道,在高等数学中,通过函数的一阶导数的符号可以判断函数的单调性,二阶导数的符号可以判断函数的凹凸性。根据这个原理,我们利用Mathematica求函数导数、求不等式的系统函数D[],InequalitySolve[]来判断函数的单调区间和凹凸区间。

第二,隐函数的显化有时是困难的,甚至是不可能的。但在实际问题中,有时需要计算隐函数的导数,因此,我们希望有一种方法,不管隐函数能否显化,都能直接由方程算出它所确定的隐函数的导数来。虽然Mathematica并没有直接提供隐函数求导的内部函数,但我们可以根据求函数的微分、解方程或方程组的内部函数Dt[],Solve[]来求隐函数的导数。

1.2绘图功能的应用

Mathematica软件可以利用多种格式绘出函数的平面、立体图像,使抽象的概念可视化。在高等数学中的很多内容都比较抽象,学生理解起来比较困难。而借助直观的几何图形,可以帮助学生建立起空间概念,准确的了解抽象的概念,使高等数学的教学变得更加形象生动。

第一,平面图像。

对于前面所述函数的单调性和凹凸性,我们可以绘出函数的一阶、二阶导数来更加直观的了解函数的几何特性。

高等数学中定积分的一个重要应用就是求平面区域的面积。一般过程是首先解方程组得两曲线的交点坐标,由此确定积分的上下限;其次作图观察;最后判断区域类型,以选择积分变量。

第二,立体图像。

Mathematica可以绘制三维空间的几何图形,以便于学生理解空间的概念。不仅能够进行一般曲面作图,而且可以绘制参数曲线、参数曲面。

2　教学中对Mathematica应注意的问题

虽然将Mathematica应用在高等数学教学中有着积极的意义,通过Mathematica的高等数学实验,学生能在理解、掌握数学理论知识的同时,又能简单、迅速地计算出复杂的数学运算结果,而不必考虑实现的过程,有助于提高非数学专业学生利用数学求解实际问题的能力。但是在使用Mathematica软件进行数学实验的过程中还有一些问题需要注意:

2.1　在实验教学中提高学生的实践能力

数学实验不仅仅要教会学生如何利用数学软件来进行计算、画图,实验教学强调的是训练学生将实际问题和数学联系起来,让学生根据实验的目的分析问题,根据问题中的已知条件和要求的结果,归纳数学规律,然后在独自思考的基础上,提出分析问题、解决问题的方法,制定实验的方案。

2.2　在实验教学中提高学生的创新精神

在数学实验的综合性实验中,大多问题是没有现成的答案,没有现成的模式的,要靠学生充分发挥自己的创造性去分析问题,而如何去解决这个问题,同样要求学生充分发挥自己的创造性。通过数学实验培养学生的创新精神,使得学生将理论与实践有机结合起来,使学生的探索能力和创新能力都得到培养和提高。

2.3　加强实验教学与理论教学的联系

我们开设基于Mathematica软件的数学实验,决不是要降低对高等数学理论学习的要求,而是要求学生在掌握数学理论知识的同时,加强将理论知识与实际问题的联系。要培养学生理论与实践相结合,运用数学的知识和方法来解决实际问题的能力,开展数学实验教学就是将所学的知识应用于实际问题。