数学教育构建新概念方法

作为一线教师，几乎每天都面对“数学教学”．

那么，“数学教学”到底应该教学生学些什么?是一个不得不思考的问题．本文结合笔者的教学实践，谈一些想法，与同行交流，不当之处，敬请指正．

1教学生构建新概念的方法

怎样教学生“建构新概念、新方法”?不应是教师直接把概念、方法告诉学生，而是在教师的启发引导下，让学生质疑、发现、探究、归纳、判断、概括新概念，即教会学生自己去建构．案例l数系的扩充与复数的引入

1．1创设情境提出问题

【问题1】将10分成两部分，使两者的乘积等于40，这两部分分别是多少?

【师生活动】学生在解决问题的过程中发现了矛盾：在实数范围内无法解决此问题．教师启发引导：既然实数集不够用了，应怎么办?——必要性产生了．需要将实数集进行扩充，于是提出了本课要研究的问题．

1．2启发引导寻找方法

【问题2】以往的学习中有没有遇见过类似的问题?

【师生活动】教师启发引导：如果遇见过，解决了什么问题?怎样解决的?解决的过程有什么规律(共同的特点)?这些规律对解决当前的问题有什么借鉴作用?在教师的启发引导下，学生回忆起从自然数集——整数集——有理数集——实数集的扩充过程，并寻找解决问题的方法．

1．3回顾历程探究规则

【问题3】每次扩充解决了什么问题?怎么解决的?

【师生活动】学生总结：自然数集减法运算不够用，引进负数，扩充到整数集，使减法运算得以实施；整数集除法运算不够用，引进分数，扩充到有理数集，使除法运算得以实施；正数开方运算不够用，引进无理数，扩充到实数集，使正数开方运算得以实施．

【问题4】解决问题的规律是什么?

【师生活动】学生总结：原数集有某运算不能实施；引进新数(原数集包含于新数集)；使运算能够进行；原有的运算及其性质在新数集仍然保持．

1．4引进新数建构概念

【问题5】数系扩充的规则对当前的问题有什么借鉴作用?

【师生活动】教师启发引导，师生达成共识，引进i2=一1，i称为“虚数单位”．复数的表示方法z=n+6i(n，6∈R)，以及实部、虚部、复数集的概念及符号表示．师生就大家举出的复数例子，探讨复数的分类．

1．5结合例题探究复数相等

【例题】实数m取什么值时，复数2=m(m—1)+(m一1)i是(1)实数?(2)虚数?(3)纯虚数?

【师生活动】学生解答问题．教师启发引导：由这三个等式，你能得出什么结论?两个复数什么情况下相等?从等号左右两边的复数相等，你能得出什么结论?要使两个复数相等需要满足什么条件?学生反思总结，给出复数相等的条件．

1．6回顾反思归纳小结

【问题6】通过本节课的学习，你有哪些收获?

【师生活动】在教师的启发引导下，学生归纳总结．在知识层面上的收获，如复数定义；复数分类；复数相等定义．同时，也总结出在方法层面上的收获，如怎样提出问题；怎样建构一个新概念等．

案例1的第一部分的教学，教师首先提出了卡尔丹问题．在解决时，学生发现在实数范围内无法解决．既然实数集不够用了，该怎么办?需要把实数集扩充．怎么想到的?人类解决问题的最本源的方法就是从已有方法中寻找未知方法；从已有知识中寻找未知知识；从已解决的问题中寻找新问题的解决方法．正足因为我们在前面有过扩充数集的经历，现在遇到了实数集范围内不能解决的问题，所以才想到了需要扩充数集．

接下来，在教师的启发引导下，学生回顾了数系的扩充过程，并总结出数系的扩充规则．为什么要总结数系的扩充规则?因为在解决如何引入复数时，它是要作为方法来使用的!这也正是教材把“数系的扩充”作为本节课内容的真正原因．到此完成了本节课的第一部分内容的教学．

这就是在教学生学“寻找解决新问题的方法”．如果把此部分的教学改为，上课伊始，就让学生回顾数系的扩充过程，然后再总结扩充的规则，学生就根本感受不到为什么要研究这些内容，只能被教师牵着鼻子走．虽然知识也能学会，但能力的培养就弱化了．

第二部分的教学，这些规则对当前的问题(问题1)有什么借鉴作用?——引进新数．怎样引进新数?引进什么样的新数?回到一开始的问题——~／一15不能表示为实数，卡尔丹称之为“怪物”．这样的“怪物”很多，最简单的是凡教师启发观察厅和／=万的共同点，学生发现厅=1×厅，v厂=两一~／15×~／一1，也就是说它们都可看成是实数x~／一1．需要引进~／一1作为新数，但负数开平方总难以接受，容易歧义，书写麻烦，数学追求简洁，越简单越好，于是用“i”表示厅，即厅=i或i2=一1，i称为“虚数单位”．前面出现的那些数就表示成：土i，土~／15i，5士~／15i，它们都称为“虚数”．通过观察这些数的特点，还能给出它们统一形式，即z=口+扼(口，6∈R)．教师再介绍实部、虚部、复数集的概念及符号表示．结合大家举出的复数例子，探讨了复数的分类；结合课堂例题，探究了复数相等的定义．

至此，完成了复数定义的整个建构过程．这就是在教学生学“建构新概念、新方法”．在此教学中，我们可以看到复数的概念不是由教师直接给出的，而是在教师引导下，学生自己在解决问题的过程中，经过观察、比较、概括、抽象等思维活动，逐步概括得到的，这一过程与前人形成这个概念所经历的过程有某种一致性．任何新的概念都应从无到有地建立起来．从卡尔丹发现~／一15，到欧拉用新符号i表示~／一1有200多年，虽然我们不可能在一节课中走完200多年的历程，但我们可以尽可能的让学生经历概念建构的过程，从中也能感受到定义其中的合理性．