数学抽象教育界定

一、概念界定

数学在本质上研究的是抽象了的东西。而这些抽象了的东西来源于现实世界，是被人抽象出来的。

1．抽象的含义

所谓抽象，通常是指从众多的事物中抽取出共同的、本质性的特征．而舍弃其非本质特征的思维过程。要抽象就必须进行比较，没有比较就无法找到在本质上共同的部分。

共同特征是指那些能把一类事物与他类事物区分开来的特征，又称本质特征。因此，抽取事物的共同特征就是抽取事物的本质特征，舍弃非本质的特征。而抽象的过程也是一个概括、分离和提纯的过程。

2．数学抽象的含义及其作用

“数学在本质上研究的是抽象的东西州“，这个命题，从古至今，无论是数学家还是哲学家几乎都没有异议。数学抽象是一种特殊性的抽象，其特殊性表现为，数学抽象的对象是“空问形式和数键关系”．不管是现实世界中的“数跫关系和空间形式”还是思维想象中的“数量关系和空间形式”，都属于数学研究的范畴_1。也就是说，数学抽象的对象既可以是现实世界中的空间形式和数量关系，也可以是数学思维中的空问形式和数昔关系。关于数学抽象的作用，史宁中教授指出，真正的知识是来源于感性的经验、通过直观和抽象而得到的，并且。这种抽象是不能独立于人的思维丽存在的-“。

在数学中．抽象是思维的基础，只有具备了一定的抽象能力，才可能从感性认识中获得事物(事件或实物)的本质特征，从而上升到理性认识。这既是一个获取知识的过程．又是一个研究的过程．这个过程对于所有学科的学习都是非常重要的。

二、数学抽象的一般步骤

数学抽象具有不同的阶段性。简约阶段、符号阶段、普适阶段．是数学抽象的三个基本阶段㈠。简约阶段．即把握事物的本质，把繁杂问题简单化、条理化，并能够清晰地表达．，符号阶段，即去掉具体的内容．利用慨念、图形、符号、关系表述包括已经简约化了的事物住内的一类事物。

普适阶段，即通过假设和推理建移法则、模式或者模型。并能够在一般的意义上解释具体事物。

三、数学抽象在数学教学中的应用

在数学教学中．数学抽象具有鲜明的层次性，正如康德在他的巨著《纯粹理性批划》中所指出的，人类的一切知识都是从直脱开始，从那咀进到概念，而以理念结束“。学生的学习也足这样．必须从学生的现实开始，逐步过渡到数学的高级抽象。

教学层商的数学抽象基本遵循数学抽象的层次性，但有其更深刻而具体的表现，其梯瞧和层次性更强：

1．实物层面的抽象

这个层【蔚的抽象(过程)，实际一1-．是芷足已有的生活经验和社会现实，进行第一步抽象．即以实物为对象进行抽象．到刚刚超越实物而尚未完全脱离实物即结束。

案例l小学自然数的“荫位数加一位数的进位加法”的“十位”的抽象：27+5=?借助于“十个鸡蛋一盒”这个非常现实的经验．学生已经有相对丰富的类似经验或经历，27表示两盒鸡蛋．另有一盒不满的鸡蛋(即盒子里有7个鸡蛋．这意味着空着3个窄位)，另有5个鸡蛋。一共几个鸡蛋呢?借助生活经验，学生很自然地将5个鸡蛋中的3个拿出来．填补在第j盒鸡蛋的3个宅位上．即将空位补齐，凑成一整盒，余下2个鸡蛋。

这就是，将5分成3与2的和，而3与27凑成30，因而，结果是32，这是最朴素的“凑十进位”，而这里的“一(整)盒”就是最直接、最形象的“十位”，属于典型的借助“实物”的直接抽象。

2．半符号层面的抽象

这个阶段实际上是简约阶段的一种．是建立在实物抽象的摹础之上的进一步发展。此时，有关的属性已经从实物中“提取”出来、抽象出来，仁l是．并没有完全脱离实物，或者更确切地说．是部分属性“脱离”了实物，而其中的关键属性已经初见端倪。

案例2“圆”的概念的抽象过程，就需要多个层面的抽象：初升的太阳．十五的月亮、水中的波纹……都能给人以圆的形象，这是“圆”概念抽象的第一步．属于实物商观层面的第一次抽象；而从太阳、月亮、波纹等具体的实物模型中，抽象出集中刻I毋J圆的形状特点的一般概念．即几何中圆的定义“到定点的距离等于定长的点的集合”则是实物直观层面的第二次抽象。

纸片研究网的摹本性质．则是“圆”的半符号层面的抽象，属于更高层断的抽象，此时的“圆纸片”看得见、摸得着，已经是具有鲜明的“圆”的特征。只不过，数学中的“网”是没有厚度的，只是一个缝补曲线，其边缘没有厚度、不包括边缘线所围的区域。而这种东西在现实中并不存在。毕竟，数学中的“圆”是对客观现实中的大量原型的抽象。

3．符号层面的抽象

即已经去掉_r具体的内容，利用概念、图形、符号、关系表述包括已经简约化r的事物在内的一类事物。

符号层面的抽象具有典型的阶段性、层次性，因而，有的学者(如徐利治先牛)将其定义为“抽象度”的概念“，即，从实物抽象开始，到达半符号抽象，进而达到符号层面的抽象。而以后的抽象会以卜一级抽象的结果为对象．进行进一步的抽象．达到一个新的抽象高度。例如．在自然数抽象的基础上，进一步抽象得到分数．再抽象得到有理数．再抽象得到实数；以实数为对象再抽象．得到代数式，以代数式为对象的再抽象得到函数。如此，形成逐级抽象的概念体系。