2021-4-10 | 学科教育
一、数学方法及猜想思维方法
(一)数学方法
数学方法，有时又称“数学思想方法”和“数学思维方法”，所表达的是指在学习和研究数学的过程中所使用的思维方法。张奠宙先生在其《数学方法论稿》中，提出了数学思想方法的四个层次：…
第一，基本的和重大的数学思想方法，如模型化方法、微积分方法、概率统计方法等，主要是可以应用这些方法来研究生活世界的某一领域的问题。数学模型方法主要处理实践与认识的关系，基于实践的基础之上形成的一种数学认识；数理逻辑处理原冈与结果的关系问题；几何方法处理时问与空问的问题‘微积分处理运动与静止的关系问题等。
第二，与一般科学方法相应的数学方法，如类比、分析综合、归纳演绎等。
第三，数学学科特有的方法，如数学等价、数学表示、公理化、数形转换等。
第四，中学数学中的解题技巧，如形式化原则、简单性原则、等价交换原则、映射反映原则等。
从这四个层次看，我国的数学教学实践中，最多达到了第四层，就是在教学过程中，教给学生一些解题的方法与技巧，而其他三类思想方法很少涉及，而这砦却恰恰是形成数学的学科意识和能力，促进数学学科本身的发展与应用的重要的方法，但在我们的数学教学实践中忽视了。我们的学生只知道做题，只知道做别人给出的题，而不会自己提出问题，即使哪怕仅仅只是一个猜测性的假设，不会应用所学数学知识解决实践中的问题。从这点来看，我国中小学生的数学意识和数学思维水平实际上是很落后的。
(二)猜想思维方法
猜想是众多数学思维方法中的一种，具有数学思维的特性。而“所谓数学思维，就是以数学问题为载体，通过发现问题，解决问题的形式，达到对现实世界的空间形式和数量关系的本质的一般性的认识的思维过程”【2J。在这一定义中，非常强调数学问题的重要性。事实上，正是由于有了问题，于是才有了猜想的必要性。而又由于问题难以直接解决，于是猜想变成了解决问题的第一步。这既表现了数学思维的发展，又为后续的数学思维活动提供了动力和规划了方向。
但数学猜想并不是天马行空地乱猜，“数学猜想是依据某些数学知识和数学事实，对未知量及其关系作出的似真判断。”【3o在形成数学猜想的过程中，需要依据长期积累的数学知识和数学事实，在综合运用各种形象思维与逻辑思维方法的前提下形成，表现出深刻的想象力和洞察力。
猜想是直觉思维的结果。“直觉思维是指不受同定的逻辑规则束缚，直接领悟事物本质的一种思维方式。”Hj这种本质大体上包括数学中可能隐含的整体性、次序性、和谐性特征。直觉思维的一个主要特征是能够越过逻辑推理的束缚而直接作出某种预见和判断。在直觉思维中，人们以已有的知识为根据，以对某一问题的长期深入的思考为基础，凭直觉对研究的问题提出某种合理的猜测，往往表现为突然的认识与领悟。
(三)猜想思维方法的重要性
猜想思维方法是数学学科领域乃至自然科学领域一种承要的思维方法，可以说，没有猜想，就没有数学和自然科学的发展和突破。牛顿有一句名言：“没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现。”【53当代著名数学家波利哑也非常重视猜想在数学发现过程中的作用。他指出：“要成为一个好的数学家，必须首先是一个好的猜想家。”【6J“数学的创造过程是与任何其他知识的创造过程一样的，在证明一个数学定理之前，你先得猜测这个定理的内容，在你完全作出详细证明之前，你先得猜测证明的思路，只要数学的学习过程能反映出数学的发明过程的话，那么就应当让猜测、合情推理占有适当的位置。”【7o因此，猜想在数学学习和研究过程中构成了逻辑分析的前提和基础，猜想为逻辑分析活动提供了动力并规划了方向，成为逻辑分析得以开展的基础。如此下去以实现猜想的证实与证伪。证实，则获得一个新的定理或理论；证伪，则激励进入一个新的假设环节。数学就是在这样一个不断的证实与证伪的过程中持续下去。
比如一元二次方程和三次四次方程都能用根式求解，于是人们猜想一般的n次方程都能用根式求解。然而这一猜想是不正确的，为了否定这一猜想，数学家伽罗左首创“群论”这一新的数学领域，阿贝尔则以此为基础证明了五次及五次以上的方程小能用根式求解。数学就是在这样猜想与证实或证伪的过程中不断开拓新的领域。而著名的哥德巴赫猜想则至今激励着无数的数学家和数学爱好者在数学的王国里艰难地遨游着。
由此看来，在数学的发展和研究领域中最重要的不是证明，而是猜想!如果没有猜想，何来证明?相对于证明而占，猜想永远具有优先性!
能够提出一个具有深远影响力的猜想，无论真或者伪，都足以在数学界取得相当的地位。又有谁会怀疑哥德巴赫在数学界的地位呢?要有原创，首先必要有猜想。自古概莫能外!
二、猜想思维方法在数学教学中的培育
“一个优秀的数学家会根据自己的数觉，运用科学方法，提出好的数学问题，设定数学猜想，以便深入地工作。问题选得好坏，猜想是否合适，是决定数学创造的关键，也是数学水平高低的分野。”【81而一个在中小学阶段只知道做题的学牛长大后是无法期望他具备这种问题意识和猜想意识的。因此，在中小学阶段，有意识地培养学生的猜想能力，培养学生以猜想和证明来解释数学问题的数学意识，目前，在我国显得尤为重要。具体而言，可以通过归纳和类比来形成猜想的意识和能力。
(一)归纳
1．完伞归纳法