机群仿真模型的平均秩次法有效性分析

本文以机群为研究对象，应用蒙特卡罗仿真方法，通过飞机架数，飞行天数，日利用率动态变化驱动故障样本、删失比变化，获取故障间隔时间的完全删失数据，结合拉依达准则，确定了平均秩次法的计算错误概率。

基于平均秩次法的随机截尾数据参数估计

1.平均秩次法的基本原理

平均秩次法是一种在随机截尾条件下经验分布函数的计算方法，可有效提高累积分布函数的精度[14]。其基本方法如下：对于一组完全寿命试验的样本数据，可按其故障时间的大小排成一组顺序统计量，其中每一个产品的故障时间（或其寿命值）都有一个顺序号，此顺序称为秩次。对于一组随机截尾寿命试验的样本数据，由于其中那些尚未故障而中途撤离的产品，什么时间发生故障无法预计，因此它们的寿命秩次就不好确定，然而我们却可以估计出它们所有可能的秩次，再求出其平均秩次，将平均秩次代入近似中位秩公式（公式略）。式中：i为失效秩次；n为样本量；即可求出经验分布函数。如果数据量多时，估计所有可能的秩次就需要进行大量的排列组合计算，计算十分繁杂。因此统计学家们经过长期的实践给出一个计算平均秩的增量公式（公式略）。上面两式中，kA指故障样品的平均秩次；下标k代表故障样品的顺序号；i指所有产品的排列顺序号，按故障时间和删失时间的大小排列。有了平均秩次，然后就可以代入近似中位秩公式计算样品的累积故障分布函数，由于篇幅所限，具体的方法及算例在文献[1]中有详细的阐述。

2.威布尔分布参数估计的最小二乘法

威布尔分布是近年来在设备寿命可靠性分析中使用最广泛的模型之一。因此，本文在获得累积分布函数后，以威布尔为例，利用最小二乘来法来估计其分布参数。对于威布尔分布的累积分布函数（略）：其中m为威布尔分布的形状参数，η为威布尔分布的尺度参数。将其左右变形可得（略）：两边取2次自然对数，得到（略）：并且，其平均故障间隔时间（MeanTimeBetweenFailures,MTBF）可由下列公式求得（略）。

完全删失数据仿真流程

在现场数据中，部件投入使用的时间不同；观测者记录数据时除故障时间外还有一些部件统计之时仍在完好地工作；以及中途会因某种原因产品转移它处等，形成了现场数据随机截尾的特性[15-16]。这是一种随机截尾试验，即部件进行可靠性试验时，由于种种原因一些产品中途撤离了试验，未做到寿终或试验终止，现场得到的数据可用图1（a）表示（图略）。图1（a）中表示n个部件开始试验的起点不同，至t时刻止有一部分已故障，一部分已删除，一部分还能工作，将这些不同工作起点的部件全部从时刻0记起，可得到图（b）（图略），即为完全删失数据。根据完全删失数据获取的实际过程，本文设计了一种验证可靠性评估方法有效性的仿真程序。模型的假设如下：

1、外场运行的飞机不考虑维修时间，在设计的统计区间内一直运行；2、飞机的日利用率（每天的飞行小时数）为正态分布；3、所有飞机均在同一天开始飞行；以往文献中往往固定的是样本容量，删失比来考察方法的有效性，这与实际并不符合。这两个参数往往在运行中是动态变化的。在实际工程应用中，统计区间是可以人为设定，如统计的飞机架数，以及时间区间等。日利用率的均值和标准差对各航空公司、飞机而言，变化范围不大，因此假设日利用率服从均值为6，方差为1的正态分布。由于威布尔分布在可靠性分析中应用范围很广，常用于描述很多工程产品的寿命分析，因此本文采用威布尔分布来产生随机故障，进而生成随机样本量，这种仿真方法能够更加符合目前飞机故障产生的实际情况。因此本文将仿真模型中各个参数的选取值如表1所示（表略）：从中筛选出18组具有典型代表的组合，具体如表2所示。对于每个组合，一方面根据飞机架数和飞行天数，随机生成每架飞机每天的飞行小时数，即日利用率，进而得到每架飞机的累计飞行小时。另一方面，根据给定的威布尔分布的两个参数，用随机函数生成100组故障间隔时间，然后得到故障累计时间表。有了飞行动态数据和故障累计时间数据，通过故障累计时间和飞行累计时间的对比并进行0和1标记，就可以得到完全删失数据表。有了完全删失数据表，再利用平均秩次法计算出随机截尾样本数据的经验分布函数，最后利用最小二乘法估算出所需要的威布尔分布的形状和尺度参数，即得到了产品可靠性评定的结果。整个仿真数据获取的流程图如图2所示（图略）：

数据异常处理

对利用平均秩次法和最小二乘法计算出来的威布尔分布两个参数进行观察，发现其数据有很大的偏差。以表2中的第8组数据的尺度参数为例，随机数仿真时尺度参数取的是2000，但实际的计算结果有很多点大大偏离了2000附近，甚至最大的数值达到了373万。这些点显然是不正确的，是仿真结果中的异常点，我们必须剔除它。对于数据异常点的处理，拉依达准则是一种工程上经常使用简单有效的分析方法。这种方法是以数据值是否超过标准差x的3倍为判别标准。如果以样本值和均值之差绝对值的x3为置信区间，其置信水平可达到99.74%。若样本中还有异常点存在，则继续剔除，循环往复，直至错点全部被剔除。还是以表2中的第8组数据为例，我们对其进行了13次迭代，最后的结果就比较理想，本文认为不符合拉依达准则的点都是平均秩次法计算错误的点，因此同样对于表2中第8组数据的3000个点，通过拉依达准则筛选完毕后，3000个数值只剩下2584个，也就是说有416个值用平均秩次法计算出来的结果是估计错误的，错误率达到了13.9%，而一般在工程应用中，错误率大于5%就不可接受。

有效性分析

对表2（略）进行详细观察，我们可以从以下角度进行有效性分析：（1）从飞机架数/飞行天数即飞行小时数的不同可以看出，对于前6组，由于飞行小时数不足，平均样本数基本都在10左右，平均秩次法计算结果的错误率普遍比较偏高。对于第二组这种实际MTBF达到了4000的高可靠性产品，其错误率更是达到了最大的28.9%。对于后面12组，当飞行架数和飞行天数比较多时，样本量达到一定程度之后，其错误率便大大降低。只有在样本量大于30的情况下，平均秩次法的计算错误率才在5%的工程应用可接受范围之内。（2）对于固定的飞行小时数，对比分析不同的实际MTBF值，我们可以看出，可靠性越高的产品，其计算结果错误率就越大。而对于同一实际MTBF的产品，其飞行小时数越大，错误率就越低。例如随着飞行小时数的增加，对于MTBF为4000的样品，其错误率分别为28.9%，13.9%和3.8%。而对于MTBF为1000的样品，其错误率分别为8.7%，3.6%和1.0%。（3）删失比是指在现场数据随机截尾试验中删除的样品和总样品的比值。从表中我们可以粗略看出，删失比越大，平均秩次法计算错误率越高。我们对删失比和计算结果的错误率作了一个相关性分析，得出两者的协方差系数为0.81，也证实了计算结果的错误率和删失比成正比关系。只有删失比在0.2以下时，平均秩次法的计算错误率才在5%的可接受范围之内。（4）对于样本量在10左右并且样本实际MTBF比较高的时候，虽然拉依达准则已经剔除了很多数据异常点，然而最终计算结果的和和实际的误差还是达到了10%以上。而对于样本量比较大的时候则误差一般在10%以下。