数理逻辑与传统形式逻辑

用汉语“若,则”指称的充分条件关系(sufficientcondition,即必然关系,用符号表示)跟刻划真值函数关系的实质蕴涵关系(materialimplication,简称蕴涵,用符号→表示)之间是风马牛关系。这个自然语句的逻辑语义是:若A为含有的式(formula),B为把A中的用→替换后得出的式,则AFB(读作A风马牛B),即,(AB)∧(AB)∧(BA)∧(BA)。换个通俗的说法,风马牛关系就是彻底的偶然关系,或者说,是最偶然的最偶然关系。

AFB有一项逻辑性质:若A、B间的真值搭配为全搭配,则AFB必真。故而,只要证明A、B间的真值搭配为全搭配达就证明了本文的论题。要对A、B举出同真、同假、A假B真的例子,是不难的。亦即,我们只需再添上A真B假的实例,就完成了AFB为真的证明。含有1个号的(CD)(即C!D———C可能D)在C真而D假时可真(如,“路湿可能下雨”在事实上路湿而不下雨时也为真);然而,与之相应的变换后的(C→D)却和C∧D等值,在C真D假时为假。含有两个号的(CD)∧(CD)(即COD———C偶然D)可真;然而,与之相应的变换后的(C→D)∧(C→D)却与C∧D∧C∧D等值,恒假。

下面,我们再作一次证明:设A为(p(x)q(x))r(x),于是,相应的B为(p(x)→q(x))→r(x)。以“物体”为论域。令:p(x)表示“x的温度为100℃”,q(x)表示“x熔化”。我们用下表列出实例:　

“若x的温度为t℃时则x熔化,必然,x的熔点不高于t℃”(α)为物理定理。不论x取何物,t为几摄氏度,α常真。可是,“若x的温度为t℃时则x熔化,必然,x的熔点高于t℃”(β)与常真的物理定理α相反对,常假。然而,一经把上述物理定理α及其反对命题β中指称充分条件关系的“若、则”、“必然”变换成纯真值的“蕴涵”后,常真的物理定理α就变成可假,而常假的反对命题β却变成可真了。用这种真假飘忽不定的实质蕴涵来取代固若金汤的充分条件(或必然)关系,实在是逻辑史上的误会。

必须指出:即使当A、B同真时,这也只不过是一种彻底偶然的风马牛的巧合。因为,在这种时候,A、B两者的逻辑语义(决定A、B所以为真的逻辑依据)仍然根本不同:A说的是“若p则q;必然,r”。A是常真的一般的物理定理;当指定温度t为100℃、物体x为一块冰棍时则为A的个别例。象具有A这样的逻辑语义的语句,凡是学过物理学中熔点的定义的人都听得懂,说得出。可是,实事求是而不故弄玄虚地说,与A相应的B(即(p→q)→r)的逻辑语义是:不是:“不是‘p真而q假’”真而r假。具有这种逻辑含义的语句,占人口99.999999%的人是听不懂、不会说的。鉴于绝大多数的人从来不需要产生具有这种逻辑含义的思想,因而,不曾学会应该怎样来形成和陈述这种话语。在这种情况下,B尽管和A同为真,然而,其逻辑语义要说相干,也不过是风马牛相干。

我们所进行的是逻辑学的实事求是的科学讨论,不是茶余饭后的随便闲聊。经过论证,我们获得的结论是:(1)在经验科学的意义上,或者说,当把具有不同逻辑含义的?(充分条件)和→(蕴涵)分别应用于经验科学时,AFB。我们称这种情况为和→之间的经验的风马牛。(2)在逻辑科学的意义上,经过分析,获得的结果是:传统形式逻辑推理格式和正统数理逻辑形式定理之间的关系仍然是风马牛。这个自然语句的逻辑语义是:若A为传统形式逻辑命题形式的符号表达式,对A中指称分充条件(或必然关系)的用?表示的“若,则”替换成实质蕴涵→后得出正统数理逻辑符号表达式B,则:“A有效”风马牛“B有效”。

这个结论的证明是轻而易举的。请看下表(其中的符号├、┤分别表示有效、不有效,分别读作“栅”、“反栅”):这就证明了:(├A)F(├B)

在表中,我们在紧接各式的下边同时写出用自然语言表述的相应的式的逻辑语义。当有(├A)F(├B)时,对象序号1的A1、B1这样的实例,虽然A1、B1都有效,可是只不过是一种偶然,甚而是一种风马牛的巧合!这时候,A1、B1的逻辑语义仍然不同,亦即,A1、B1有效的依据完全不同:A1由于有两个独立性因而能从已知获取新知,而B1没有两个独立性因而不能从已知获取新知,而是同语反复的重言式。稍作进一步的恒等变换就能看出,B1的前件C(C→D)和CD等值,前件中已经知道D了,还去推D干什么!后件D对于前件C(C→D)(即CD)来说怎么可能是新知?

这样,我们已经证实了:第一,在经验科学的范围内,含有表述充分条件(即,必然)关系的联结词“若…则…”的命题A,如果将其中的“若…则…”用“蕴涵”替换得到B。此时,如果A与B相干也只是风马牛相干。第二,在逻辑科学的意义上,含有以充分条件(即,必然)关系为逻辑语义的逻辑号?的传统形式逻辑符号表达式A,一旦将其中的号替换成蕴涵号→后得出数理逻辑的符号表达式B,这种情况下,如果A与B的相对于各自的语义的逻辑有效性相干仍然不过是风马牛相干!这铁的事实证实了:用数理逻辑的蕴涵号→取代经验科学或传统形式逻辑中具有两个独立性的充分条件的,是绝对行不通的!

甚至,更具有说服力的是,用数理逻辑的蕴涵号→取代数理逻辑自身的元语言中所使用的“若…则…”,仍然是绝对行不通的!!在数理逻辑中有一系列原始规则和导出规则,这些规则通常都用“若…则…”来表述。我们都知道,作为形式系统的规则“若A则B”中的“若…则…”的逻辑含义是:可提供一个从A到B的形式证明。这就是说,可以写出一个含有A且以B为结尾的式的有限系列,其中,除A外的每一个式,或者是公理,或者是以在前面出现的式为假设使用一次原始规则得出的结果。非常明显,这样的“若A则B”不是A、B的真值函数,亦即,“若A则B”成立与否不取决于A、B本身的真值,而是取决于能否写出具有上述性质的被称为“形式证明”的式的有限序列。事实上,这些在数理逻辑论著中出现的“若…则…”具有两个独立性:(1)第一独立性———可独立于A、B本身是否定理而确定不会A是定理而B不是定理;(2)第二独立性———A是定理可独立于B是否定理确定。可见,数理逻辑元语言中所使用的“若…则…”就是表述充分条件的?,而不是蕴涵→。如果要说数理逻辑作为研究对象的蕴涵→跟元语言中作为研究工具的“若…则…”()之间有什么相干,那仍然不过是风马牛相干!