证券市场运用小波变换

一、引言

2007年美国爆发的次贷危机，因其传播速度快、持续时间长、影响范围广、破坏性大，最终演变成全球性的金融危机，导致多数经济体停滞甚至衰退。这场危机引发的美国和世界主要证券市场剧烈波动为1929年以来之最。本文应用奇异点检测的小波分析方法对美国证券市场进行回朔剖析，以期对我国证券市场的稳健发展起到警示和借鉴作用。小波分析从工程领域应用于统计领域引起反响与关注［1］(AntoniadisandOppenheim，1995)，近年来被逐渐运用到经济、金融数据的统计研究中。国内外已有的研究成果显示:小波方法可以去除股市数据中偶然因素引起的涨跌，凸显影响股市涨跌的主要因素和宏观突变的特点，表明小波分析在探讨股市行为特别是奇异点检测及宏观股价走势的预测上具有良好的应用前景。目前，国外对金融时间序列变点研究的有:纳森［2］(Nason，1996)讨论了澳元对美元汇率的模拟数据，比较了“通用门限”法，“全门限”法等之优缺点。瑞斯等［3］(Ramseyetal，1995)首先把小波分析应用于金融市场，分析了标准普尔指数的波动情况。王［4］(Wang，1995)使用小波分析，对美国1953年至1991年月度股票收益的奇异点进行了研究，但没有检测出海湾战争这一重大事件。斯图［5］(Struzikw，2001)认为，小波可用来发现金融数据的异常点，他尝试用小波变换极大模分析多重分形谱，确定了高频时间序列定位尺度的特征。国内的研究有:黄香，叶维彰等(1997)［6］使用样条小波研究美元对德国马克汇率数据，检验出了七国工业集团和海湾战争的影响。朱洪俊等(2002)［7］采用离散小波变换的直接算法来检测突变信号峰值奇异点，实现了对突变信号峰值奇异点的准确检测和精确定位。王哲(1999)［8］等用墨西哥帽小波对上证和深证股价涨跌率，通过二进小波变换多分辨分析，得出小波方法可以剔除股市偶然因素引起的涨跌，发现带有普遍性涨跌的一般规律。2011年8月6日世界资本市场又经历了一场灾难性打击。因世界三大评级机构之一的标准普尔，将美国国债信用等级降为AA+，评级展望为负，美国首次失去AAA主权信用评级。受此影响全球投资者大规模恐慌，各国股市持续大跌。美国道琼斯工业指数从11444．61点跌到10809点，欧洲股市直到8月14日仍在下跌。中国上证指数跌破2500点，创一年来新低。世界与中国经历的“标普———美债降级风暴”是次贷危机的延续，也是继危机标志性事件2009年雷曼兄弟破产后的“最大冲击波”，对各国的股市和经济影响深远。标志这场前所未有的世界危机仍将持续，终点仍无法准确预测。美国走上了向世界各国转嫁危机损失之路。因此，观测美国证券市场信号中的奇异点及不规则的突变部分，分析其中带有的重要信息，有助于我们诊断美国的经济运行故障，同时对本国经济将受到的影响作出提前反应。本文主要基于小波变换模极大值方法，计算李普西兹指数，寻找美国次贷危机中的突变点及这些突变点对应的关键事件，研究次贷危机前后美国证券市场主要特征、次贷危机对美国金融市场的影响以及美国金融市场异常对应的美国经济系统的重大特别事件。

二、突变点的小波检测方法

时间序列中包含的信息主要体现在突变点或区域中。小波研究对象是信号，金融时间序列可以看做是金融信号。金融时间序列中的突变反映了市场异常波动和状态改变，并对应着国内重大事件对金融市场的冲击及市场的反应。在危机中，对应着危机起源国家市场异常波动及随后的传染溢出效应。因此研究突变有以下用途:首先，检测危机发源国金融市场的突变点和结构变化，为危机前后建立变结构模型提供依据，也使得建立相关预测系统成为可能。其次，分析危机中金融市场的异常状态及结构变化，有助于对其特征及变化机制进行观测，是进一步研究这种特征对全球其他金融市场传染的基础。小波分析对信号进行时频分解，研究不同尺度下的突变情况的原理是不同时间尺度对应不同突变点，小尺度突变点多，大尺度突变点少，共同突变点说明这一时间突变强烈，反映了主要波动的特征。因此分析这些突变点的影响因素，有助于揭示时间序列波动的驱动机制。一般用正则性刻画函数的光滑程度，正则性越高，光滑性越好。信号在某点或区间内可微，则信号在该点或区间正则。反之，函数在某处间断或导数不连续，则函数在该处奇异。奇异点分为两类:①峰值点，指某一时刻幅值发生突变，引起信号非连续，相当于在该处叠加了冲激信号，被称为第一类型间断点。②过零点，信号外观光滑，幅值无突变，但一阶微分有突变且不连续，被称为第二类型间断点。相当于在该处叠加了阶跃信号。两类奇异点均可在小波变换中反映。小波变换一阶导数dWfdt=0的点，是Wf()t的峰值点;小波变换二阶导数d2Wfdt2=0的点，是Wf()t的过零点。由拉氏变换可以推导出信号经某一函数滤波后求K阶导数等效于信号直接用该函数求K阶导数后的小波滤波。

三、小波变换模极大值

通常用李普西兹指数α(缩写L．E．α)，来度量函数的正则性。它刻画了函数f与局部多项式的逼近程度。函数某点的李氏指数刻画了该点的奇异性，α越大，该点的光滑度越高;反之，奇异性越大。傅里叶变换是研究信号奇异的基本工具，通过函数傅里叶变换的衰减(趋于零的快慢)来判断奇异性强弱。缺点是只能给出信号在R上的均匀李氏指数，判断整体奇异性，但不能确定奇异点在R上的分布及奇异性强弱。小波可以对信号进行局部分析，判断奇异点位置及强弱。马拉特等［8］(Mallat，1977，1992)最早研究了小波变换在信号奇异性检测中的作用。小波变换模Wfs，()u在v领域中小尺度下的衰减性能够刻画函数f在点v的局部李氏正则性，但尺度—时间平面上直接计算任意点v在其领域中模Wfs，()u的衰减性的计算量极大，很难直接运用于实际数值计算。Mallat，HWANG［10］给出了局部极大值可以控制Wfs，()u的衰减性的相关证明。如果小波变换Wfs，()u在小尺度上不存在局部模极大值，那么f一定是局部正则的。如果一个模极大值序列在小尺度上收敛于点v，则f在该点是奇异的。跟踪小波变换模极大值曲线能找到所有奇异点，但模极大值点可能不在同一条极大曲线上，当f是完全正则函数时，有可能其小波变换某个模极大值点列趋于横坐标。因此仅沿尺度搜索小波模极大点是不充分的，需要从模极大值的衰减判断函数在该点的奇异性。