函数概念的悖论

函数是现代数学的主要研究对象，贯穿于初等教育、中等教育和高等教育各个阶段，在各种类型的教育教学过程中，函数都是最基础的数学概念之一，但大多数学生却不甚理解函数这个概念的内涵，常常是知其然，不知其所以然．请看下述三例:

例1设{fn(x)}是定义在R上的函数列，则建立如下映射，g:{fn(x)}→N，fn(x)?→n，即n=g(fn(x))，该映射是函数吗?为什么?

例2设2003数本班全体学生构成集合A={s1，s2，…，sn}，集合B={(姓名，性别，籍贯，出生日期，政治面貌)}，则建立如下映射，h:A→B，学生?→(姓名，性别，籍贯，出生日期，政治面貌)，该映射是函数吗?为什么?

例3f={(x，y)?x∈R，y=cosx∈［－1，1］}?R×R={(x，y)?x∈R，y∈R}，试问:f是函数吗?为什么?

下面，本人对函数概念进行整理和注解，希望对学生有所帮助，同时，权作同行交流探讨．

一、函数概念的介绍

1．产生阶段

16世纪，随着自然科学对物体运动研究的深入开展，尤其是对各种变化过程和各种变化着的量之间的依赖关系的研究，促使数学学科产生了变量和函数的概念．从这个意义上来讲，函数概念来源于现实生活，产生在人们对自然现象的不断探索过程之中，所以对函数概念的理解和把握，要充分尊重它的现实意义和实际应用．

2．发展阶段

(1)原始概念．“函数”这个数学术语首先是由德国数学家莱布尼兹提出来的，他定义的函数的含义是指关于曲线上的点的横坐标与纵坐标以及一些线段(如弦、切线、法线等)的长度．根据此函数定义，坐标、弦长和切线都是函数!显然非常模糊，且不具体，与我们现行的函数定义相差甚远．

(2)第一次扩张．1748年，数学家欧拉将函数定义为:“变量的函数是一个解析表达式，它是由这个变量和一些常量以任何方式组成的．”1775年，欧拉又给出了函数的另一种定义:“如果某些变量，以这样一种方式依赖另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随之而变化，那么前面变量称为后面变量的函数．”上述欧拉给出的函数的两个定义称之为解析的函数概念．例如x2+x+1，(x－2)2+y2，等等，这与现行的函数定义相差不多了，只要稍作修改为f(x)=x2+x+1;f(x，y)=(x－2)2+y2即可．见上述例1、例2、例3．

(3)第二次扩张．欧拉在提出解析的函数概念的同时，给出了图像的函数概念:“在xOy平面上任意画出的曲线所确定了的x，y之间的关系．”

(4)第三次扩张．1837年，德国数学家狄里赫莱进一步给出了函数的定义:“对于在某区间上的每一个确定的x值，y都有一个或多个确定的值与之对应，那么y叫做x的函数．”黎曼也给出了类似的定义:“对于x的每一个值，y总有完全确定了的值与之对应，而不拘建立x，y之间的对应方法如何，均将y称作是x的函数．”上述函数的两个定义称之为对应关系的函数概念．

(5)近、现代函数的定义．在近、现代数学中，函数的概念又有了进一步的发展，建立在“集合”和“对应”这两个基本概念的基础之上，其定义为:集合到集合的单值对应．即非空集合间的映射叫做函数．记作f:A→B，x?→y，或y=f(x)，x∈A，集合A叫做函数的定义域，f叫做函数的对应法则，f(A)叫做函数的值域．

二、函数概念的注解

现行的初等教育、中等教育和高等教育的教材中，对函数概念的定义不外乎两种，其一是变量的函数观点，其定义为:“设在某变化过程中有两个变量x和y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，y都有唯一的确定的值和它对应，那么就把y叫做x的函数，x叫做自变量．”这在中学数学课本中，非常普遍，也比较流行．其二是对应的观点，其定义为:“非空数集间的映射叫做函数．”但无论是哪一种定义，都比较狭隘，非常局限，会误导学生，特别是对学生今后的数学学习造成隐患，有必要对其进行探究和解释说明．

1．修订

对于定义“设在某变化过程中有两个变量x和y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，y都有唯一的确定的值和它对应，那么就把y叫做x的函数，x叫做自变量．”把函数定义为变量，显然与高等数学中映射的观点不相符，给大学阶段的数学教学埋下了隐患．而定义“集合到集合的单值对应．即非空集合间的映射叫做函数．”当然也是有问题的．一是何谓单值?集合中的元素一定是“值”吗?二是何谓单值对应?把现行的初等教育、中等教育和高等教育的教材中函数概念定义为:“非空集合间的映射叫做函数．”记作f:A→B，x?→y，或y=f(x)，x∈A，集合A叫做函数的定义域，f叫做函数的对应法则，f(A)叫做函数的值域．强调函数是集合间的一种关系，一种特殊的关系!这样，既便于学生理解，又与今后数学的学习不矛盾．

2．注释说明

(1)当A，B都是数集时，f就是现行各种教材中函数的定义．其中A，B可以是无限集，也可以是有限集．

例4y=f(x)=2x+3，x∈R．

(2)当A，B不都是数集，或都不是数集时，f仍然是集合A到集合B的函数．请看下面的例子:

例5集合点名．叫“张三”，就有一个名字叫张三的人答应(假设集合中名字叫张三的人唯一)，这就是名字集到人集的映射，当然是函数，而且是非数集到非数集的函数!根据概率的定义，“随机事件A发生可能性大小的度量(数值)，称为A发生的概率，记作P(A)．”其实质是事件域T到无限集［0，1］的映射，是函数!因而才有概率的公理化定义:“概率是定义在事件域T上的一个非负的、规范的、可列可加的集函数．”